Salah satu bagian dasar dari analisis matematika adalah kalkulus integral. Ini mencakup bidang objek terluas, di mana yang pertama adalah integral tak tentu. Penting untuk memposisikannya sebagai kunci, yang bahkan di sekolah menengah mengungkapkan semakin banyak perspektif dan peluang yang dijelaskan oleh matematika tingkat tinggi.
Penampilan
Pada pandangan pertama, integral tampaknya benar-benar modern, relevan, tetapi dalam praktiknya ternyata itu muncul pada awal 1800 SM. Mesir secara resmi dianggap sebagai tanah air, karena bukti keberadaannya sebelumnya belum sampai kepada kita. Dia, karena kurangnya informasi, selama ini diposisikan hanya sebagai fenomena. Dia sekali lagi menegaskan tingkat perkembangan ilmu pengetahuan di antara orang-orang pada masa itu. Akhirnya, karya-karya matematikawan Yunani kuno yang berasal dari abad ke-4 SM ditemukan. Mereka menggambarkan metode di mana integral tak tentu digunakan, yang intinya adalah menemukan volume atau luas bangun datar (tiga dimensidan bidang dua dimensi, masing-masing). Prinsip perhitungan didasarkan pada pembagian gambar asli menjadi komponen-komponen yang sangat kecil, asalkan volume (luas) mereka sudah diketahui. Seiring waktu, metode tersebut berkembang, Archimedes menggunakannya untuk mencari luas parabola. Perhitungan serupa dilakukan pada saat yang sama oleh para ilmuwan di Tiongkok kuno, dan mereka sepenuhnya independen dari rekan-rekan Yunani mereka dalam sains.
Pengembangan
Terobosan berikutnya pada abad ke-11 M adalah karya ilmuwan Arab-"universal" Abu Ali al-Basri, yang mendorong batas-batas apa yang sudah diketahui, menurunkan rumus berdasarkan integral untuk menghitung jumlah baris dan jumlah pangkat dari yang pertama hingga keempat, menerapkan metode induksi matematika yang kita ketahui untuk ini.
Pemikiran zaman modern mengagumi bagaimana orang Mesir kuno menciptakan monumen arsitektur yang menakjubkan tanpa perangkat khusus apa pun, kecuali mungkin tangan mereka, tetapi bukankah kekuatan pikiran para ilmuwan pada masa itu tidak kalah ajaibnya? Dibandingkan dengan hari ini, kehidupan mereka tampak hampir primitif, tetapi solusi integral tak tentu diturunkan di mana-mana dan digunakan dalam praktik untuk pengembangan lebih lanjut.
Langkah berikutnya terjadi pada abad ke-16, ketika matematikawan Italia Cavalieri mengembangkan metode tak terbagi, yang diambil oleh Pierre Fermat. Kedua kepribadian inilah yang meletakkan dasar bagi kalkulus integral modern, yang dikenal saat ini. Mereka menghubungkan konsep diferensiasi dan integrasi, yang sebelumnyadiperlakukan sebagai unit otonom. Pada umumnya, matematika pada masa itu terfragmentasi, partikel-partikel kesimpulan ada dengan sendirinya, memiliki cakupan yang terbatas. Jalan penyatuan dan pencarian kesamaan adalah satu-satunya yang benar pada saat itu, berkat analisis matematika modern yang mendapat kesempatan untuk tumbuh dan berkembang.
Semuanya telah berubah dari waktu ke waktu, termasuk notasi integral. Pada umumnya, para ilmuwan menandainya dengan segala cara, misalnya, Newton menggunakan ikon persegi di mana ia menempatkan fungsi yang dapat diintegrasikan atau hanya meletakkannya di sebelahnya.
Inkonsistensi ini berlanjut hingga abad ke-17, ketika ilmuwan Gottfried Leibniz, seorang tokoh penting bagi seluruh teori analisis matematis, memperkenalkan simbol yang begitu akrab bagi kita. Huruf "S" yang memanjang memang didasarkan pada huruf alfabet Latin ini, karena menunjukkan jumlah antiturunan. Integral mendapatkan namanya berkat Jacob Bernoulli 15 tahun kemudian.
Definisi formal
Integral tak tentu secara langsung bergantung pada definisi antiturunan, jadi mari kita pertimbangkan dulu.
Antiturunan adalah fungsi yang merupakan kebalikan dari turunan, dalam prakteknya disebut juga primitif. Sebaliknya: antiturunan dari fungsi d adalah fungsi D yang turunannya sama dengan v V'=v. Pencarian antiturunan adalah perhitungan integral tak tentu, dan proses ini sendiri disebut integrasi.
Contoh:
Fungsi s(y)=y3, dan antiturunannya S(y)=(y4/4).
Jumlah semua antiturunan dari fungsi yang dibahas adalah integral tak tentu, dinotasikan sebagai berikut: v(x)dx.
Karena fakta bahwa V(x) hanya beberapa antiturunan dari fungsi aslinya, ekspresi terjadi: v(x)dx=V(x) + C, di mana C adalah konstanta. Konstanta arbitrer adalah sembarang konstanta, karena turunannya sama dengan nol.
Properti
Sifat-sifat integral tak tentu didasarkan pada definisi utama dan sifat-sifat turunan.
Mari kita lihat poin-poin utamanya:
- integral turunan dari antiturunan adalah antiturunan itu sendiri ditambah konstanta arbitrer С ∫V'(x)dx=V(x) + C;
- turunan integral fungsi adalah fungsi asal (∫v(x)dx)'=v(x);
- konstanta diambil dari bawah tanda integral kv(x)dx=k∫v(x)dx, di mana k adalah sembarang;
- integral yang diambil dari jumlah tersebut sama dengan jumlah dari integral (v(y) + w(y))dy=v(y)dy +∫w(y)dy.
Dari dua sifat terakhir, kita dapat menyimpulkan bahwa integral tak tentu adalah linier. Berkat ini, kami memiliki: (kv(y)dy +∫ lw(y))dy=k∫v(y)dy + l∫w(y)dy.
Untuk mengkonsolidasikan, perhatikan contoh penyelesaian integral tak tentu.
Dibutuhkan untuk mencari integral (3sinx + 4cosx)dx:
∫(3sinx + 4cosx)dx=3sinxdx + 4cosxdx=3∫sinxdx + 4∫cosxdx=3(-cosx) + 4sinx + C=4sinx - 3cosx + C
Dari contoh kita dapat menyimpulkan:tidak tahu bagaimana menyelesaikan integral tak tentu? Temukan saja semua primitif! Tetapi prinsip-prinsip pencarian akan dipertimbangkan di bawah ini.
Metode dan contoh
Untuk menyelesaikan integral, Anda dapat menggunakan metode berikut:
- gunakan tabel yang sudah disiapkan;
- integrasikan berdasarkan bagian;
- integrasikan dengan mengubah variabel;
- bawa di bawah tanda diferensial.
Tabel
Cara termudah dan paling menyenangkan. Saat ini, analisis matematis menawarkan tabel yang cukup luas di mana rumus dasar integral tak tentu ditulis. Dengan kata lain, ada templat yang telah dikembangkan sebelum Anda dan untuk Anda, tinggal menggunakannya saja. Berikut adalah daftar posisi tabel utama di mana Anda dapat memperoleh hampir setiap contoh yang memiliki solusi:
- ∫0dy=C, di mana C adalah konstanta;
- ∫dy=y + C, di mana C adalah konstanta;
- ∫y dy=(yn+1) / (n + 1) + C, di mana C adalah konstanta dan n - bukan satu angka;
- ∫(1/th)dy=ln|y| + C, di mana C adalah konstanta;
- ∫eydy=ey + C, di mana C adalah konstanta;
- ∫kydy=(ky/ln k) + C, di mana C adalah konstanta;
- ∫cosydy=siny + C, di mana C adalah konstanta;
- ∫sinydy=-cosy + C, di mana C adalah konstanta;
- ∫dy/cos2y=tgy + C, di mana C adalah konstanta;
- ∫dy/sin2y=-ctgy + C, di mana C adalah konstanta;
- ∫dy/(1 + y2)=arctgy + C, di mana C adalah konstanta;
- ∫chydy=pemalu + C, di mana C -konstan;
- ∫shydy=chy + C, di mana C adalah konstanta.
Jika perlu, ambil beberapa langkah, bawa integran ke bentuk tabel dan nikmati kemenangannya. Contoh: cos(5x -2)dx=1/5∫cos(5x - 2)d(5x - 2)=1/5 x sin(5x - 2) + C.
Menurut solusinya, jelas bahwa untuk contoh tabel, integran tidak memiliki faktor 5. Kami menambahkannya, mengalikannya dengan 1/5 secara paralel sehingga ekspresi umum tidak berubah.
Integrasi berdasarkan bagian
Pertimbangkan dua fungsi - z(y) dan x(y). Mereka harus terus menerus terdiferensiasi di seluruh domain definisi. Menurut salah satu sifat diferensiasi, kita memiliki: d(xz)=xdz + zdx. Mengintegrasikan kedua bagian persamaan, kita mendapatkan: d(xz)=(xdz + zdx)=> zx=zdx + xdz.
Menulis ulang persamaan yang dihasilkan, kami memperoleh rumus yang menjelaskan metode integrasi dengan bagian: zdx=zx - xdz.
Mengapa dibutuhkan? Intinya adalah bahwa beberapa contoh dapat disederhanakan, berbicara secara kondisional, mengurangi zdx menjadi xdz jika yang terakhir dekat dengan bentuk tabel. Juga, formula ini dapat diterapkan lebih dari sekali, mencapai hasil yang optimal.
Cara menyelesaikan integral tak tentu dengan cara ini:
perlu menghitung (s + 1)e2sds
∫(x + 1)e2sds={z=s+1, dz=ds, y=1/2e2s, dy=e2xds}=((s+1)e2s) / 2-1/2∫e2s dx=((s+1)e2s) / 2-e2s/4+ C;
perlu menghitung lnsds
∫lnsds={z=lns, dz=ds/s, y=s, dy=ds}=slns - s x ds/s=slns - ds=slns -s + C=s(lns -1) + C.
Substitusi variabel
Prinsip penyelesaian integral tak tentu ini tidak kalah penting dari dua prinsip sebelumnya, meskipun lebih rumit. Caranya adalah sebagai berikut: misalkan V(x) merupakan integral dari beberapa fungsi v(x). Jika integral itu sendiri dalam contoh dianggap kompleks, ada kemungkinan besar untuk menjadi bingung dan mengambil jalan penyelesaian yang salah. Untuk menghindari hal ini, transisi dari variabel x ke z dilakukan, di mana ekspresi umum disederhanakan secara visual sambil mempertahankan ketergantungan z pada x.
Secara matematis terlihat seperti ini: v(x)dx=v(y(z))y'(z)dz=V(z)=V(y-1(x)), di mana x=y(z) adalah substitusi. Dan, tentu saja, fungsi invers z=y-1(x) sepenuhnya menggambarkan ketergantungan dan hubungan variabel. Catatan penting - diferensial dx harus diganti dengan diferensial baru dz, karena penggantian variabel dalam integral tak tentu menyiratkan penggantiannya di mana-mana, dan tidak hanya di integral.
Contoh:
perlu menemukan (s + 1) / (s2 + 2s - 5)ds
Terapkan substitusi z=(s+1)/(s2+2s-5). Maka dz=2sds=2+2(s+1)ds (s+1)ds=dz/2. Hasilnya, kita mendapatkan ekspresi berikut, yang sangat mudah untuk dihitung:
∫(s+1)/(s2+2s-5)ds=∫(dz/2)/z=1/2ln|z|+C=1/2ln|s2+2s-5|+C;
perlu mencari integralnya2sesdx
Untuk menyelesaikannya, kami menulis ulang ekspresi dalam bentuk berikut:
∫2sesds=(2e)sds.
Dinotasikan dengan a=2e (langkah ini bukan pengganti argumen, ini masih s), kita bawa integral kompleks kita ke bentuk tabel dasar:
∫(2e)sds=asds=as / lna + C=(2e)s / ln(2e) + C=2ses / ln(2 + lne) + C=2ses / (ln2 + 1) + C.
Membawa di bawah tanda diferensial
Pada umumnya, metode integral tak tentu ini adalah saudara kembar dari prinsip perubahan variabel, tetapi ada perbedaan dalam proses desainnya. Mari kita lihat lebih dekat.
Jika v(x)dx=V(x) + C dan y=z(x), maka v(y)dy=V(y) + C.
Dalam hal ini, kita tidak boleh melupakan transformasi integral sepele, di antaranya:
- dx=d(x + a), di mana a adalah sembarang konstanta;
- dx=(1 / a)d(ax + b), di mana a lagi-lagi konstan, tetapi tidak sama dengan nol;
- xdx=1/2d(x2 + b);
- sinxdx=-d(cosx);
- cosxdx=d(sinx).
Jika kita mempertimbangkan kasus umum ketika kita menghitung integral tak tentu, contoh dapat diringkas di bawah rumus umum w'(x)dx=dw(x).
Contoh:
perlu mencari (2s + 3)2ds, ds=1/2d(2s + 3)
∫(2s + 3)2ds=1/2∫(2s + 3)2d(2s + 3)=(1/2) x ((2s +3)2) / 3 + C=(1/6) x (2s + 3)2 + C;
∫tgsds=sins/cossds=d(coss)/coss=-ln|coss| + C.
Bantuan Online
Dalam beberapa kasus, kesalahan yang mungkin berupa kemalasan atau kebutuhan mendesak, Anda dapat menggunakan tip online, atau lebih tepatnya, menggunakan kalkulator integral tak tentu. Terlepas dari semua kompleksitas yang tampak dan perselisihan integral, solusi mereka tunduk pada algoritma tertentu, yang didasarkan pada prinsip "jika tidak …, maka …".
Tentu saja, kalkulator semacam itu tidak akan menguasai contoh yang sangat rumit, karena ada kasus di mana solusinya harus ditemukan secara artifisial, "secara paksa" memasukkan elemen-elemen tertentu dalam proses, karena hasilnya tidak dapat dicapai dengan jelas. cara. Terlepas dari semua kontroversi pernyataan ini, itu benar, karena matematika, pada prinsipnya, adalah ilmu abstrak, dan menganggap perlunya memperluas batas kemungkinan sebagai tugas utamanya. Memang, sangat sulit untuk naik dan berkembang sesuai dengan teori run-in yang mulus, jadi Anda tidak boleh berasumsi bahwa contoh penyelesaian integral tak tentu yang telah kita berikan adalah kemungkinan yang tinggi. Tapi kembali ke sisi teknis. Setidaknya untuk memeriksa perhitungan, Anda dapat menggunakan layanan di mana semuanya ditulis sebelum kami. Jika ada kebutuhan untuk perhitungan otomatis dari ekspresi yang kompleks, maka mereka tidak dapat ditiadakan, Anda harus menggunakan perangkat lunak yang lebih serius. Penting untuk memperhatikan lingkungan MatLab terlebih dahulu.
Aplikasi
Pemecahan integral tak tentu pada pandangan pertama tampaknya sama sekali tidak sesuai dengan kenyataan, karena sulit untuk melihat area aplikasi yang jelas. Memang, mereka tidak dapat digunakan secara langsung di mana pun, tetapi mereka dianggap sebagai elemen perantara yang diperlukan dalam proses mendapatkan solusi yang digunakan dalam praktik. Jadi, integrasi berbanding terbalik dengan diferensiasi, karena itu ia berpartisipasi aktif dalam proses penyelesaian persamaan.
Pada gilirannya, persamaan ini memiliki dampak langsung pada solusi masalah mekanis, perhitungan lintasan dan konduktivitas termal - singkatnya, segala sesuatu yang membentuk masa kini dan membentuk masa depan. Integral tak tentu, contoh yang kita bahas di atas, sepele hanya pada pandangan pertama, karena merupakan dasar untuk membuat lebih banyak penemuan baru.
