Turunan kosinus dicari dengan analogi dengan turunan sinus, dasar pembuktiannya adalah definisi limit fungsi. Anda dapat menggunakan metode lain, menggunakan rumus reduksi trigonometri untuk kosinus dan sinus sudut. Nyatakan satu fungsi dalam bentuk yang lain - kosinus dalam bentuk sinus, dan bedakan sinus dengan argumen yang kompleks.
Perhatikan contoh pertama untuk menurunkan rumus (Cos(x))'
Berikan kenaikan x yang sangat kecil untuk argumen x dari fungsi y=Cos(x). Dengan nilai baru dari argumen +Δх, kita memperoleh nilai baru dari fungsi Cos(х+Δх). Maka kenaikan fungsi y akan sama dengan Cos(х+Δx)-Cos(x).
Rasio kenaikan fungsi terhadap adalah: (Cos(х+Δx)-Cos(x)) /Δх. Mari kita lakukan transformasi identik dalam pembilang dari pecahan yang dihasilkan. Ingat rumus untuk perbedaan kosinus sudut, hasilnya akan menjadi produk -2Sin (Δx / 2) kali Sin (x + x / 2). Kami menemukan batas batas hasil bagi produk ini pada x karena x cenderung nol. Diketahui bahwa yang pertama(ini disebut indah) limit lim(Sin(Δx/2)/(Δx/2)) sama dengan 1, dan limit -Sin(x+Δx/2) sama dengan -Sin(x) sebagai x cenderung nol. Tuliskan hasilnya: turunan dari (Cos(x))' sama dengan - Sin(x).
Beberapa orang lebih suka cara kedua untuk menurunkan rumus yang sama
Dari rangkaian trigonometri diketahui: Cos(x) sama dengan Sin(0, 5 -x), begitu pula Sin(x) sama dengan Cos(0, 5 -x). Kemudian kita diferensiasikan fungsi kompleks - sinus sudut tambahan (bukan kosinus x).
Kita mendapatkan hasil kali Cos(0, 5 -x) (0, 5 -x)', karena turunan dari sinus x sama dengan cosinus X. Kami beralih ke rumus kedua Sin(x)=Cos(0,5 -x) untuk mengganti kosinus dengan sinus, dengan memperhitungkan bahwa (0,5 -x)'=-1. Sekarang kita dapatkan -Sin(x). Jadi, turunan dari kosinus ditemukan, y'=-Sin(x) untuk fungsi y=Cos(x).
Derivat kosinus kuadrat
Contoh yang umum digunakan di mana turunan kosinus digunakan. Fungsi y=Cos2(x) sulit. Kita cari dulu diferensial fungsi pangkat dengan pangkat 2, yaitu 2·Cos(x), lalu kita kalikan dengan turunan (Cos(x))', yang sama dengan -Sin(x). Kita peroleh y'=-2 Cos(x) Sin(x). Ketika kita menerapkan rumus Sin(2x), sinus sudut ganda, kita mendapatkan hasil akhir yang disederhanakanjawaban y'=-Sin(2x)
Fungsi hiperbolik
Mereka digunakan dalam studi banyak disiplin teknis: dalam matematika, misalnya, mereka memfasilitasi perhitungan integral, solusi persamaan diferensial. Mereka dinyatakan dalam fungsi trigonometri dengan imajinerargumen, sehingga kosinus hiperbolik ch(x)=Cos(i x), di mana i adalah satuan imajiner, sinus hiperbolik sh(x)=Sin(i x).
Turunan dari kosinus hiperbolik dihitung dengan cukup sederhana.
Pertimbangkan fungsi y=(ex+e-x) /2, ini dan adalah kosinus hiperbolik ch(x). Kami menggunakan aturan untuk menemukan turunan dari jumlah dua ekspresi, aturan untuk mengambil faktor konstan (Const) dari tanda turunan. Suku kedua 0,5 e-x adalah fungsi kompleks (turunannya adalah -0,5 e-x), 0,5 eх suku pertama. (ch(x)) '=((ex+e-x)/2)' dapat ditulis dengan cara lain: (0, 5 ex+0, 5 e-x)'=0, 5 e x-0, 5 e-x, karena turunannya (e - x)' sama dengan -1 kali e-x. Hasilnya adalah perbedaan, dan ini adalah sinus hiperbolik sh(x).Output: (ch(x))'=sh(x).Mari kita lihat contoh bagaimana hitung turunan fungsi y=ch(x
3
+1).Menurut aturan turunan kosinus hiperbolik dengan argumen kompleks y'=sh(x 3
+1) (x 3+1)', di mana (x3+1)'=3 x 2+0. Jawaban: turunan dari fungsi ini adalah 3 x2sh(x3
+1).
Turunan tabel dari fungsi yang dipertimbangkan y=ch(x) dan y=Cos(x)
Saat menyelesaikan contoh, tidak perlu membedakannya setiap kali sesuai dengan skema yang diusulkan, cukup menggunakan inferensi.
Contoh. Bedakan fungsi y=Cos(x)+Cos2(-x)-Ch(5 x). Mudah dihitung (menggunakan data tabular), y'=-Sin(x) +Sin(2 x)-5 Sh(5 x).
