Pythagoras berpendapat bahwa angka mendasari dunia bersama dengan elemen dasar. Plato percaya bahwa angka menghubungkan fenomena dan noumenon, membantu untuk mengenali, mengukur dan menarik kesimpulan. Aritmatika berasal dari kata "arithmos" - angka, awal permulaan dalam matematika. Itu dapat menggambarkan objek apa pun - dari apel dasar hingga ruang abstrak.
Kebutuhan sebagai faktor pengembangan
Pada tahap awal pembentukan masyarakat, kebutuhan masyarakat terbatas pada kebutuhan untuk menghitung - satu karung gandum, dua karung gandum, dll. Bilangan alami sudah cukup untuk ini, yang himpunannya adalah barisan bilangan bulat positif tak hingga N.
Kemudian, dengan perkembangan matematika sebagai ilmu, ada kebutuhan untuk bidang bilangan bulat Z yang terpisah - termasuk nilai negatif dan nol. Penampilannya di tingkat rumah tangga dipicu oleh fakta bahwa dalam akuntansi utama perlu entah bagaimana memperbaikinyahutang dan kerugian. Pada tingkat ilmiah, bilangan negatif memungkinkan penyelesaian persamaan linier paling sederhana. Antara lain, citra sistem koordinat trivial kini menjadi mungkin, karena titik referensi telah muncul.
Langkah selanjutnya adalah perlunya memperkenalkan bilangan pecahan, karena sains tidak tinggal diam, semakin banyak penemuan yang membutuhkan landasan teoretis untuk dorongan pertumbuhan baru. Ini adalah bagaimana bidang bilangan rasional muncul Q.
Akhirnya, rasionalitas tidak lagi memenuhi permintaan, karena semua kesimpulan baru membutuhkan pembenaran. Di sana muncul bidang bilangan real R, karya Euclid tentang ketidakterbandingan jumlah tertentu karena irasionalitasnya. Artinya, matematikawan Yunani kuno memposisikan angka tidak hanya sebagai konstanta, tetapi juga sebagai kuantitas abstrak, yang dicirikan oleh rasio kuantitas yang tidak dapat dibandingkan. Karena kenyataan bahwa bilangan real muncul, jumlah seperti "pi" dan "e" "melihat cahaya", yang tanpanya matematika modern tidak dapat berlangsung.
Inovasi terakhir adalah bilangan kompleks C. Ini menjawab sejumlah pertanyaan dan menyangkal postulat yang diperkenalkan sebelumnya. Karena perkembangan aljabar yang cepat, hasilnya dapat diprediksi - memiliki bilangan real, memecahkan banyak masalah tidak mungkin. Misalnya, berkat bilangan kompleks, teori string dan chaos menonjol, dan persamaan hidrodinamika diperluas.
Teori himpunan. Penyanyi
Konsep tak terhingga sepanjang waktumenimbulkan kontroversi, karena tidak dapat dibuktikan atau disangkal. Dalam konteks matematika, yang beroperasi dengan postulat-postulat yang diverifikasi secara ketat, ini termanifestasi dengan sangat jelas, terutama karena aspek teologis masih memiliki bobot dalam sains.
Namun, berkat karya matematikawan Georg Kantor, semuanya berjalan sesuai dengan waktu. Dia membuktikan bahwa ada banyak himpunan tak hingga, dan bahwa medan R lebih besar dari medan N, bahkan jika keduanya tidak memiliki ujung. Di pertengahan abad ke-19, ide-idenya dengan keras disebut omong kosong dan kejahatan terhadap kanon klasik yang tak tergoyahkan, tetapi waktu menempatkan segalanya pada tempatnya.
Sifat dasar bidang R
Bilangan real tidak hanya memiliki sifat yang sama dengan himpunan bagian yang termasuk di dalamnya, tetapi juga dilengkapi oleh yang lain karena skala elemennya:
- Nol ada dan termasuk dalam bidang R. c + 0=c untuk sembarang c dari R.
- Nol ada dan termasuk dalam bidang R. c x 0=0 untuk setiap c dari R.
- Relasi c: d untuk d 0 ada dan valid untuk sembarang c, d dari R.
- Bidang R diurutkan, yaitu jika c d, d c, maka c=d untuk sembarang c, d dari R.
- Penambahan pada bidang R adalah komutatif, yaitu c + d=d + c untuk sembarang c, d dari R.
- Perkalian pada bidang R bersifat komutatif, yaitu c x d=d x c untuk sembarang c, d dari R.
- Penambahan pada field R adalah asosiatif, yaitu (c + d) + f=c + (d + f) untuk sembarang c, d, f dari R.
- Perkalian pada bidang R adalah asosiatif, yaitu (c x d) x f=c x (d x f) untuk sembarang c, d, f dari R.
- Untuk setiap bilangan di bidang R, ada kebalikannya, sehingga c + (-c)=0, di mana c, -c berasal dari R.
- Untuk setiap bilangan dari bidang R ada inversnya, sehingga c x c-1 =1, di mana c, c-1 dari R.
- Satuan ada dan termasuk dalam R, jadi c x 1=c, untuk sembarang c dari R.
- Hukum distribusi berlaku, jadi c x (d + f)=c x d + c x f, untuk sembarang c, d, f dari R.
- Di bidang R, nol tidak sama dengan satu.
- Bidang R transitif: jika c d, d f, maka c f untuk sembarang c, d, f dari R.
- Dalam bidang R, urutan dan penjumlahan saling berhubungan: jika c d, maka c + f d + f untuk sembarang c, d, f dari R.
- Dalam bidang R, orde dan perkalian saling berhubungan: jika 0 c, 0 d, maka 0 c x d untuk sembarang c, d dari R.
- Bilangan real negatif dan positif keduanya kontinu, yaitu, untuk setiap c, d dari R, ada f dari R sedemikian rupa sehingga c f d.
Modul di bidang R
Bilangan real termasuk modulus.
Dinotasikan sebagai |f| untuk setiap f dari R. |f|=f jika 0 f dan |f|=-f jika 0 > f. Jika kita menganggap modulus sebagai kuantitas geometris, maka itu adalah jarak yang ditempuh - tidak masalah jika Anda "melewati" nol ke minus atau meneruskan ke plus.
Bilangan kompleks dan bilangan real. Apa persamaannya dan apa perbedaannya?
Pada umumnya, bilangan kompleks dan bilangan real adalah satu dan sama, kecuali ituunit imajiner i, yang kuadratnya -1. Elemen bidang R dan C dapat direpresentasikan sebagai rumus berikut:
c=d + f x i, di mana d, f termasuk bidang R dan i adalah satuan imajiner
Untuk mendapatkan c dari R dalam kasus ini, f diset sama dengan nol, yaitu, hanya bagian riil dari bilangan yang tersisa. Karena medan bilangan kompleks memiliki himpunan properti yang sama dengan medan bilangan real, f x i=0 jika f=0.
Mengenai perbedaan praktis, misalnya, di bidang R, persamaan kuadrat tidak diselesaikan jika diskriminan negatif, sedangkan bidang C tidak memberlakukan pembatasan seperti itu karena pengenalan unit imajiner i.
Hasil
"Batu bata" dari aksioma dan postulat yang menjadi dasar matematika tidak berubah. Karena peningkatan informasi dan pengenalan teori-teori baru, berikut "batu bata" ditempatkan pada beberapa dari mereka, yang di masa depan dapat menjadi dasar untuk langkah selanjutnya. Misalnya, bilangan asli, terlepas dari kenyataan bahwa mereka adalah bagian dari bidang nyata R, tidak kehilangan relevansinya. Pada merekalah semua aritmatika dasar didasarkan, yang dengannya pengetahuan manusia tentang dunia dimulai.
Dari sudut pandang praktis, bilangan real terlihat seperti garis lurus. Di atasnya Anda dapat memilih arah, menentukan asal dan langkah. Garis lurus terdiri dari jumlah titik yang tidak terbatas, yang masing-masing sesuai dengan satu bilangan real, terlepas dari apakah itu rasional atau tidak. Jelas dari deskripsi bahwa kita berbicara tentang sebuah konsep di mana matematika pada umumnya dan analisis matematika pada umumnya dibangun.tertentu.
