Bahkan di sekolah, semua siswa berkenalan dengan konsep "geometri Euclidean", ketentuan utamanya difokuskan pada beberapa aksioma berdasarkan elemen geometris seperti titik, bidang, garis, gerak. Semuanya bersama-sama membentuk apa yang telah lama dikenal dengan istilah "ruang Euclidean".
Ruang Euclidean, yang definisinya didasarkan pada konsep perkalian skalar dari vektor, adalah kasus khusus dari ruang linier (affine) yang memenuhi sejumlah persyaratan. Pertama, perkalian skalar dari vektor-vektor adalah simetri mutlak, yaitu vektor dengan koordinat (x;y) secara kuantitatif identik dengan vektor dengan koordinat (y;x), tetapi berlawanan arah.
Kedua, jika produk skalar dari vektor dengan dirinya sendiri dilakukan, maka hasil dari tindakan ini akan positif. Satu-satunya pengecualian adalah kasus ketika koordinat awal dan akhir dari vektor ini sama dengan nol: dalam hal ini, produknya dengan dirinya sendiri juga akan sama dengan nol.
Ketiga, hasil kali skalar adalah distributif, yaitu dimungkinkan untuk menguraikan salah satu koordinatnya menjadi jumlah dua nilai, yang tidak akan menyebabkan perubahan apa pun pada hasil akhir perkalian skalar vektor. Terakhir, keempat, ketika vektor dikalikan dengan bilangan real yang sama, hasil kali skalarnya juga akan bertambah dengan faktor yang sama.
Jika keempat kondisi ini terpenuhi, kita dapat mengatakan dengan yakin bahwa kita memiliki ruang Euclidean.
Ruang Euclidean dari sudut pandang praktis dapat dicirikan oleh contoh spesifik berikut:
- Kasus paling sederhana adalah keberadaan himpunan vektor dengan produk skalar yang didefinisikan menurut hukum dasar geometri.
- Ruang Euclidean juga akan diperoleh jika yang kita maksud dengan vektor adalah himpunan bilangan real berhingga tertentu dengan rumus tertentu yang menjelaskan jumlah atau hasil kali skalarnya.
- Kasus khusus ruang Euclidean adalah apa yang disebut ruang nol, yang diperoleh jika panjang skalar kedua vektor sama dengan nol.
Ruang Euclidean memiliki sejumlah properti khusus. Pertama, faktor skalar dapat dikeluarkan dari kurung baik dari faktor pertama dan kedua dari produk skalar, hasil dari ini tidak akan berubah sama sekali. Kedua, bersama dengan distribusi elemen pertama skalarproduk, distributivitas elemen kedua juga bertindak. Selain jumlah skalar vektor, distributivitas juga terjadi dalam kasus pengurangan vektor. Terakhir, ketiga, ketika sebuah vektor dikalikan dengan nol secara skalar, hasilnya juga nol.
Jadi, ruang Euclidean adalah konsep geometris paling penting yang digunakan dalam menyelesaikan masalah dengan pengaturan bersama dari vektor-vektor relatif satu sama lain, yang dicirikan oleh konsep seperti produk skalar.
