Untuk menentukan paralelisme dan tegak lurus bidang, serta menghitung jarak antara objek geometris ini, akan lebih mudah untuk menggunakan satu atau beberapa jenis fungsi numerik. Untuk masalah apa lebih mudah menggunakan persamaan bidang dalam segmen? Pada artikel ini, kita akan melihat apa itu dan bagaimana menggunakannya dalam tugas-tugas praktis.
Apa itu persamaan ruas garis?
Sebuah bidang dapat didefinisikan dalam ruang 3D dalam beberapa cara. Pada artikel ini, beberapa di antaranya akan diberikan saat memecahkan masalah dari berbagai jenis. Di sini kami memberikan deskripsi rinci tentang persamaan di segmen pesawat. Umumnya memiliki bentuk berikut:
x/p + y/q + z/r=1.
Di mana simbol p, q, r menunjukkan beberapa angka tertentu. Persamaan ini dapat dengan mudah diterjemahkan ke dalam ekspresi umum dan ke dalam bentuk lain dari fungsi numerik untuk pesawat.
Kemudahan menulis persamaan dalam segmen terletak pada kenyataan bahwa persamaan tersebut memuat koordinat eksplisit perpotongan bidang dengan sumbu koordinat tegak lurus. Pada sumbu xrelatif terhadap titik asal, bidang memotong segmen dengan panjang p, pada sumbu y - sama dengan q, pada z - dengan panjang r.
Jika salah satu dari ketiga variabel tidak terdapat dalam persamaan, maka ini berarti bahwa bidang tidak melalui sumbu yang bersesuaian (para ahli matematika mengatakan bahwa bidang tersebut memotong tak hingga).
Selanjutnya, berikut adalah beberapa masalah di mana kami akan menunjukkan cara bekerja dengan persamaan ini.
Komunikasi umum dan dalam segmen persamaan
Diketahui bahwa bidang tersebut diberikan oleh persamaan berikut:
2x - 3y + z - 6=0.
Persamaan umum bidang ini perlu ditulis dalam segmen-segmen.
Ketika masalah serupa muncul, Anda harus mengikuti teknik ini: kami mentransfer istilah bebas ke sisi kanan persamaan. Kemudian kami membagi seluruh persamaan dengan istilah ini, mencoba mengungkapkannya dalam bentuk yang diberikan di paragraf sebelumnya. Kami memiliki:
2x - 3y + z=6=>
2x/6 - 3y/6 + z/6=1=>
x/3 + y/(-2) + z/6=1.
Kami telah memperoleh persamaan bidang di segmen-segmen, yang diberikan awalnya dalam bentuk umum. Terlihat bahwa bidang memotong segmen dengan panjang 3, 2 dan 6 masing-masing untuk sumbu x, y dan z. Sumbu y memotong bidang di daerah koordinat negatif.
Saat membuat persamaan dalam segmen, penting bahwa semua variabel didahului dengan tanda "+". Hanya dalam kasus ini, angka yang digunakan untuk membagi variabel ini akan menunjukkan koordinat yang terpotong pada sumbu.
Vektor dan titik normal pada bidang
Diketahui bahwa beberapa bidang memiliki vektor arah (3; 0; -1). Diketahui juga melalui titik (1; 1; 1). Untuk bidang ini, tulis persamaan dalam segmen.
Untuk mengatasi masalah ini, pertama-tama Anda harus menggunakan bentuk umum untuk objek geometris dua dimensi ini. Bentuk umum ditulis sebagai:
Ax + By + Cz + D=0.
Tiga koefisien pertama di sini adalah koordinat vektor pemandu, yang ditentukan dalam pernyataan masalah, yaitu:
A=3;
B=0;
C=-1.
Tetap mencari suku bebas D. Dapat ditentukan dengan rumus berikut:
D=-1(Ax1+ By1+ Cz1).
Dimana nilai koordinat dengan indeks 1 sesuai dengan koordinat titik milik pesawat. Kami mengganti nilainya dari kondisi masalah, kami mendapatkan:
D=-1(31 + 01 + (-1)1)=-2.
Sekarang Anda dapat menulis persamaan lengkapnya:
3x - z - 2=0.
Teknik untuk mengubah ekspresi ini menjadi persamaan dalam segmen-segmen bidang telah ditunjukkan di atas. Terapkan:
3x - z=2=>
x/(2/3) + z/(-2)=1.
Jawaban untuk masalah telah diterima. Perhatikan bahwa bidang ini hanya memotong sumbu x dan z. Untuk y sejajar.
Dua garis lurus yang mendefinisikan bidang
Dari pelajaran geometri spasial, setiap siswa mengetahui bahwa dua garis arbitrer secara unik mendefinisikan sebuah bidang diruang tiga dimensi. Mari kita selesaikan masalah serupa.
Dua persamaan garis diketahui:
(x; y; z)=(1; 0; 0) + (2; -1; 0);
(x; y; z)=(1; -1; 0) + (-1; 0; 1).
Persamaan bidang perlu ditulis dalam segmen-segmen yang melalui garis-garis ini.
Karena kedua garis harus terletak pada bidang, ini berarti bahwa vektor-vektornya (pengarah) harus tegak lurus terhadap vektor (panduan) bidang tersebut. Pada saat yang sama, diketahui bahwa produk vektor sembarang dua segmen berarah memberikan hasil dalam bentuk koordinat ketiga, tegak lurus dengan dua yang asli. Mengingat properti ini, kami memperoleh koordinat vektor normal ke bidang yang diinginkan:
[(2; -1; 0)(-1; 0; 1)]=(-1; -2; -1).
Karena dapat dikalikan dengan angka arbitrer, ini membentuk segmen terarah baru yang sejajar dengan yang asli, kita dapat mengganti tanda koordinat yang diperoleh dengan kebalikannya (dikalikan dengan -1), kita mendapatkan:
(1; 2; 1).
Kita mengetahui vektor arah. Tetap mengambil titik sembarang dari salah satu garis lurus dan menyusun persamaan umum bidang:
A=1;
B=2;
C=1;
D=-1(11 + 20 + 30)=-1;
x + 2y + z -1=0.
Menerjemahkan persamaan ini ke dalam ekspresi dalam segmen, kita mendapatkan:
x + 2y + z=1=>
x/1 + y/(1/2) + z/1=1.
Jadi, bidang memotong ketiga sumbu di wilayah positif sistem koordinat.
Tiga poin dan sebuah pesawat
Sama seperti dua garis lurus, tiga titik mendefinisikan sebuah bidang secara unik dalam ruang tiga dimensi. Kami menulis persamaan yang sesuai dalam segmen jika koordinat titik-titik berikut yang terletak di bidang diketahui:
Q(1;-2;0);
P(2;-3;0);
M(4; 1; 0).
Mari kita lakukan hal berikut: hitung koordinat dua vektor sembarang yang menghubungkan titik-titik ini, kemudian cari vektor n¯ yang normal terhadap bidang dengan menghitung produk dari segmen-segmen berarah yang ditemukan. Kami mendapatkan:
QP¯=P - Q=(1; -1; 0);
QM¯=M - Q=(2; 4; 0);
n¯=[QP¯QM¯]=[(1; -1; 0)(2; 4; 0)]=(0; 0; 6).
Ambil titik P sebagai contoh, buat persamaan bidang:
A=0;
B=0;
C=6;
D=-1(02 + 0(-3) + 60)=0;
6z=0 atau z=0.
Kami mendapatkan ekspresi sederhana yang sesuai dengan bidang xy dalam sistem koordinat persegi panjang yang diberikan. Itu tidak dapat ditulis dalam segmen, karena sumbu x dan y milik bidang, dan panjang segmen yang dipotong pada sumbu z adalah nol (titik (0; 0; 0) milik bidang).
