Mungkin konsep turunan sudah tidak asing lagi bagi kita masing-masing sejak sekolah. Biasanya siswa mengalami kesulitan memahami hal ini, tidak diragukan lagi, hal yang sangat penting. Ini secara aktif digunakan di berbagai bidang kehidupan masyarakat, dan banyak perkembangan teknik didasarkan pada perhitungan matematis yang diperoleh dengan menggunakan turunan. Tetapi sebelum melanjutkan ke analisis tentang apa itu turunan angka, bagaimana menghitungnya dan di mana mereka berguna bagi kita, mari kita masuk ke dalam sejarah.
Sejarah
Konsep turunan, yang menjadi dasar analisis matematis, ditemukan (lebih baik dikatakan "ditemukan", karena tidak ada di alam seperti itu) oleh Isaac Newton, yang kita semua tahu dari penemuan hukum gravitasi universal. Dialah yang pertama kali menerapkan konsep ini dalam fisika untuk menghubungkan sifat kecepatan dan percepatan benda. Dan banyak ilmuwan masih memuji Newton untuk penemuan luar biasa ini, karena sebenarnya ia menemukan dasar kalkulus diferensial dan integral, pada kenyataannya, dasar dari seluruh bidang matematika yang disebut "kalkulus". Jika saat itu Hadiah Nobel, Newton akan menerimanya dengan probabilitas tinggi beberapa kali.
Tidak tanpa pikiran hebat lainnya. Kecuali Newtonjenius matematika terkemuka seperti Leonhard Euler, Louis Lagrange dan Gottfried Leibniz bekerja pada pengembangan turunan dan integral. Terima kasih kepada mereka bahwa kami telah menerima teori kalkulus diferensial dalam bentuk yang ada hingga hari ini. Omong-omong, Leibniz-lah yang menemukan arti geometris turunan, yang ternyata tidak lebih dari garis singgung kemiringan garis singgung grafik fungsi.
Apa turunan dari bilangan? Mari kita ulangi sedikit apa yang kita alami di sekolah.
Apa itu turunan?
Konsep ini dapat didefinisikan dalam beberapa cara berbeda. Penjelasan paling sederhana adalah bahwa turunan adalah laju perubahan fungsi. Bayangkan grafik dari beberapa fungsi y dari x. Jika tidak lurus, maka ia memiliki beberapa kurva dalam grafik, periode naik dan turun. Jika kita mengambil beberapa interval yang sangat kecil dari grafik ini, itu akan menjadi segmen garis lurus. Jadi, rasio ukuran segmen yang sangat kecil di sepanjang koordinat y ini dengan ukuran di sepanjang koordinat x akan menjadi turunan dari fungsi ini pada titik tertentu. Jika kita menganggap fungsi secara keseluruhan, dan tidak pada titik tertentu, maka kita akan mendapatkan fungsi turunan, yaitu ketergantungan tertentu dari y pada x.
Selain makna fisis turunan sebagai laju perubahan suatu fungsi, terdapat juga makna geometris. Kita akan membicarakan dia sekarang.
Pengertian geometris
Turunan angka itu sendiri mewakili angka tertentu, yang, tanpa pemahaman yang tepat, tidak membawatidak ada poin. Ternyata turunan tidak hanya menunjukkan laju pertumbuhan atau penurunan fungsi, tetapi juga garis singgung kemiringan garis singgung grafik fungsi pada suatu titik tertentu. Bukan definisi yang sangat jelas. Mari kita analisis lebih detail. Katakanlah kita memiliki grafik fungsi (untuk kepentingan, mari kita ambil kurva). Ini memiliki jumlah poin yang tidak terbatas, tetapi ada area di mana hanya satu titik yang memiliki maksimum atau minimum. Melalui titik seperti itu dimungkinkan untuk menggambar garis yang tegak lurus terhadap grafik fungsi di titik tersebut. Garis seperti itu akan disebut garis singgung. Katakanlah kita menghabiskannya ke persimpangan dengan sumbu OX. Jadi, sudut yang diperoleh antara garis singgung dan sumbu OX akan ditentukan oleh turunannya. Lebih tepatnya, tangen dari sudut ini akan sama dengan itu.
Mari kita bicara sedikit tentang kasus khusus dan menganalisis turunan dari bilangan.
Kasus khusus
Seperti yang telah kami katakan, turunan bilangan adalah nilai turunan pada titik tertentu. Sebagai contoh, mari kita ambil fungsi y=x2. Turunan x adalah bilangan, dan dalam kasus umum, fungsi sama dengan 2x. Jika kita perlu menghitung turunannya, misalkan, pada titik x0=1, maka kita mendapatkan y'(1)=21=2. Semuanya sangat sederhana. Kasus yang menarik adalah turunan dari bilangan kompleks. Kami tidak akan masuk ke penjelasan rinci tentang apa itu bilangan kompleks. Anggap saja ini adalah angka yang berisi apa yang disebut unit imajiner - angka yang kuadratnya -1. Perhitungan turunan seperti itu hanya mungkin jika berikut ini:kondisi:
1) Harus ada turunan parsial orde pertama dari bagian real dan imajiner terhadap Y dan X.
2) Kondisi Cauchy-Riemann yang terkait dengan persamaan turunan parsial yang dijelaskan dalam paragraf pertama terpenuhi.
Kasus menarik lainnya, meski tidak serumit kasus sebelumnya, adalah turunan dari bilangan negatif. Faktanya, bilangan negatif apa pun dapat direpresentasikan sebagai bilangan positif dikalikan dengan -1. Nah, turunan dari konstanta dan fungsinya sama dengan konstanta dikalikan dengan turunan dari fungsi tersebut.
Akan menarik untuk mempelajari tentang peran turunan dalam kehidupan sehari-hari, dan inilah yang akan kita bahas sekarang.
Aplikasi
Mungkin, masing-masing dari kita setidaknya sekali dalam hidupnya mendapati dirinya berpikir bahwa matematika tidak mungkin berguna baginya. Dan hal yang rumit seperti turunan, mungkin, tidak memiliki aplikasi sama sekali. Faktanya, matematika adalah ilmu dasar, dan semua buahnya dikembangkan terutama oleh fisika, kimia, astronomi, dan bahkan ekonomi. Turunan adalah awal dari analisis matematis, yang memberi kami kemampuan untuk menarik kesimpulan dari grafik fungsi, dan kami belajar menafsirkan hukum alam dan mengubahnya menjadi keuntungan kami berkat itu.
Kesimpulan
Tentu saja, tidak semua orang mungkin membutuhkan turunan dalam kehidupan nyata. Tetapi matematika mengembangkan logika, yang tentunya akan dibutuhkan. Bukan tanpa alasan matematika disebut ratu sains: matematika membentuk dasar untuk memahami bidang pengetahuan lainnya.
