Teori probabilitas bekerja dengan variabel acak. Untuk variabel acak, ada yang disebut hukum distribusi. Hukum semacam itu menggambarkan variabel acaknya dengan kelengkapan mutlak. Namun, ketika bekerja dengan himpunan variabel acak nyata, seringkali sangat sulit untuk segera menetapkan hukum distribusinya dan terbatas pada himpunan karakteristik numerik tertentu. Misalnya, menghitung mean dan varians dari variabel acak seringkali sangat berguna.
Mengapa dibutuhkan
Jika esensi dari ekspektasi matematis dekat dengan nilai rata-rata besaran, maka dalam hal ini dispersi menceritakan bagaimana nilai-nilai besaran kita tersebar di sekitar ekspektasi matematis ini. Misalnya, jika kita mengukur IQ sekelompok orang dan ingin memeriksa hasil pengukuran (sampel), ekspektasi matematis akan menunjukkan nilai rata-rata perkiraan kecerdasan kecerdasan untuk kelompok orang ini, dan jika kita menghitung varians sampel, kita akan mengetahui bagaimana hasil dikelompokkan di sekitar ekspektasi matematis: sekelompok di dekatnya (variasi kecil dalam IQ) atau lebih merata di seluruh rentang dari hasil minimum hingga maksimum (variasi besar, dan di suatu tempat di tengah - ekspektasi matematis).
Untuk menghitung varians, Anda memerlukan karakteristik baru dari variabel acak - deviasi nilai dari matematikamenunggu.
Penyimpangan
Untuk memahami cara menghitung varians, Anda harus terlebih dahulu memahami deviasinya. Definisinya adalah perbedaan antara nilai yang diambil variabel acak dan ekspektasi matematisnya. Secara kasar, untuk memahami bagaimana suatu nilai "tersebar", Anda perlu melihat bagaimana deviasinya didistribusikan. Artinya, kita mengganti nilai nilainya dengan nilai deviasinya dari matras. harapan dan jelajahi hukum distribusinya.
Hukum distribusi diskrit, yaitu variabel acak yang mengambil nilai individu, ditulis dalam bentuk tabel, di mana nilai nilai dikorelasikan dengan probabilitas kemunculannya. Kemudian, dalam hukum distribusi deviasi, variabel acak akan diganti dengan rumusnya, di mana ada nilai (yang telah mempertahankan probabilitasnya) dan matnya sendiri. menunggu.
Sifat hukum distribusi deviasi variabel acak
Kami telah menuliskan hukum distribusi untuk deviasi variabel acak. Dari sini, kita dapat mengekstrak sejauh ini hanya karakteristik seperti harapan matematis. Untuk kenyamanan, lebih baik mengambil contoh numerik.
Biarkan ada hukum distribusi dari beberapa variabel acak: X - nilai, p - probabilitas.
Kami menghitung ekspektasi matematis menggunakan rumus dan segera deviasinya.
Menggambar tabel distribusi deviasi baru.
Kami menghitung ekspektasi di sini juga.
Ternyata nol. Hanya ada satu contoh, tetapi akan selalu demikian: tidak sulit untuk membuktikan ini dalam kasus umum. Rumus untuk ekspektasi matematis dari deviasi dapat diuraikan menjadi perbedaan antara ekspektasi matematis dari variabel acak dan, tidak peduli seberapa bengkok kedengarannya, ekspektasi matematis dari matras. harapan (rekursi, bagaimanapun), yang sama, maka perbedaannya akan menjadi nol.
Hal ini diharapkan: bagaimanapun, penyimpangan dalam tanda bisa positif dan negatif, oleh karena itu, rata-rata mereka harus memberikan nol.
Cara menghitung varians kasus diskrit. jumlah
Jika mat. tidak ada gunanya menghitung ekspektasi deviasi, Anda harus mencari yang lain. Anda cukup mengambil nilai absolut dari deviasi (modulo); tetapi dengan modul, semuanya tidak sesederhana itu, jadi deviasinya dikuadratkan, dan kemudian ekspektasi matematisnya dihitung. Sebenarnya, inilah yang dimaksud ketika mereka berbicara tentang cara menghitung varians.
Artinya, kita mengambil simpangannya, mengkuadratkannya, dan membuat tabel kuadrat simpangan dan probabilitas yang sesuai dengan variabel acak. Ini adalah hukum distribusi baru. Untuk menghitung ekspektasi matematis, Anda perlu menjumlahkan hasil kali kuadrat deviasi dan probabilitas.
Rumus yang lebih mudah
Namun, artikel dimulai dengan fakta bahwa hukum distribusi variabel acak awal seringkali tidak diketahui. Jadi diperlukan sesuatu yang lebih ringan. Memang, ada rumus lain yang memungkinkan Anda menghitung varians sampel hanya dengan menggunakan matras.menunggu:
Dispersi - perbedaan antara matras. harapan kuadrat variabel acak dan, sebaliknya, kuadrat alasnya. menunggu.
Ada bukti untuk ini, tetapi tidak masuk akal untuk menyajikannya di sini, karena tidak memiliki nilai praktis (dan kita hanya perlu menghitung variansnya).
Cara menghitung varians variabel acak dalam deret variasi
Dalam statistik nyata, tidak mungkin untuk mencerminkan semua variabel acak (karena, secara kasar, ada, sebagai aturan, jumlah yang tak terbatas). Oleh karena itu, yang masuk ke dalam penelitian adalah apa yang disebut sampel representatif dari beberapa populasi umum umum. Dan, karena karakteristik numerik dari setiap variabel acak dari populasi umum seperti itu dihitung dari sampel, mereka disebut sampel: rata-rata sampel, masing-masing, varians sampel. Anda dapat menghitungnya dengan cara yang sama seperti yang biasa (melalui deviasi kuadrat).
Namun, dispersi seperti itu disebut bias. Rumus varians yang tidak bias terlihat sedikit berbeda. Biasanya diperlukan untuk menghitungnya.
Penambahan kecil
Satu lagi karakteristik numerik terkait dengan dispersi. Ini juga berfungsi untuk mengevaluasi bagaimana variabel acak menyebar di sekitar matnya. harapan. Tidak banyak perbedaan dalam cara menghitung varians dan standar deviasi: yang terakhir adalah akar kuadrat dari yang pertama.
