Bagaimana cara menghitung luas piramida: alas, samping, dan penuh?

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Terakhir diubah: 2023-12-17 05:30

Saat mempersiapkan ujian matematika, siswa harus mensistematisasikan pengetahuan mereka tentang aljabar dan geometri. Saya ingin menggabungkan semua informasi yang diketahui, misalnya, cara menghitung luas piramida. Apalagi mulai dari alas dan muka samping hingga seluruh luas permukaan. Jika situasinya jelas dengan sisi-sisinya, karena mereka adalah segitiga, maka alasnya selalu berbeda.

Bagaimana mencari luas alas piramida?

Bentuknya bisa apa saja: dari segitiga sembarang hingga n-gon. Dan alas ini, selain perbedaan jumlah sudut, bisa berupa bangun biasa atau salah. Dalam tugas USE yang menarik bagi anak sekolah, hanya ada tugas dengan angka yang benar di pangkalan. Oleh karena itu, kita hanya akan membicarakannya.

Segitiga Biasa

Itu adalah sama sisi. Satu di mana semua sisinya sama dan dilambangkan dengan huruf "a". Dalam hal ini, luas alas piramida dihitung dengan rumus:

S=(a23) / 4.

Persegi

Rumus untuk menghitung luasnya adalah yang paling sederhana,di sini "a" adalah sisinya lagi:

S=a2.

N-gon reguler sewenang-wenang

Sisi poligon memiliki sebutan yang sama. Untuk jumlah sudut digunakan huruf latin n.

S=(na2) / (4tg (180º/n)).

Bagaimana cara menghitung luas permukaan lateral dan total?

Karena alasnya adalah bangun biasa, semua sisi piramida adalah sama. Selain itu, masing-masing adalah segitiga sama kaki, karena sisi-sisinya sama. Kemudian, untuk menghitung luas lateral piramida, Anda memerlukan rumus yang terdiri dari jumlah monomial yang identik. Banyaknya suku ditentukan oleh banyaknya sisi alas.

Luas segitiga sama kaki dihitung dengan rumus di mana setengah produk alas dikalikan dengan tingginya. Ketinggian piramida ini disebut apotema. Penunjukannya adalah "A". Rumus umum untuk luas permukaan lateral adalah:

S=PA, di mana P adalah keliling alas piramida.

Ada situasi ketika sisi alas tidak diketahui, tetapi sisi sisi (c) dan sudut datar pada titik sudutnya (α) diberikan. Maka seharusnya menggunakan rumus ini untuk menghitung luas sisi piramida:

S=n/2in2 sin.

Masalah 1

Kondisi. Hitunglah luas total piramida jika alasnya adalah segitiga sama sisi dengan sisi 4 cm, dan apotemanya 3 cm.

Keputusan. MiliknyaAnda harus mulai dengan menghitung keliling alas. Karena ini adalah segitiga biasa, maka P \u003d 34 \u003d 12 cm Karena apotema diketahui, Anda dapat segera menghitung luas seluruh permukaan lateral:123=6 3 cm 2.

Untuk segitiga alasnya, Anda mendapatkan nilai luas berikut: (4²√3) / 4=4√3 cm^2.

Untuk menentukan luas total, Anda perlu menambahkan dua nilai yang dihasilkan: 6√3 + 4√3=10√3 cm2.

Jawab. 10√3cm2.

Masalah 2

Kondisi. Ada piramida segi empat biasa. Panjang sisi alas adalah 7 mm, tepi samping adalah 16 mm. Anda perlu mengetahui luas permukaannya.

Keputusan. Karena polihedron berbentuk segi empat dan teratur, maka alasnya adalah persegi. Setelah mempelajari luas alas dan permukaan samping, akan dimungkinkan untuk menghitung luas piramida. Rumus untuk persegi diberikan di atas. Dan di sisi wajah, semua sisi segitiga diketahui. Oleh karena itu, Anda dapat menggunakan rumus Heron untuk menghitung luasnya.

Perhitungan pertama sederhana dan menghasilkan angka ini: 49 mm². Untuk nilai kedua, Anda perlu menghitung setengah keliling: (7 + 162): 2=19,5 mm. Sekarang Anda dapat menghitung luas segitiga sama kaki: (19.5(19.5-7)(19.5-16)²)=2985.9375=54,644 mm ^{2. Hanya ada empat segitiga seperti itu, jadi saat menghitung angka terakhir, Anda harus mengalikannya dengan 4.}

Ternyata: 49 + 454, 644=267, 576 mm2.

Jawab. Nilai yang diinginkan 267,576mm2.

Masalah 3

Kondisi. Untuk piramida segi empat biasa, Anda perlu menghitung luasnya. Diketahui sisi persegi - 6 cm dan tingginya - 4 cm.

Keputusan. Cara termudah adalah menggunakan rumus dengan produk keliling dan apotema. Nilai pertama mudah ditemukan. Yang kedua sedikit lebih sulit.

Kita harus mengingat teorema Pythagoras dan mempertimbangkan segitiga siku-siku. Ini dibentuk oleh ketinggian piramida dan apotema, yang merupakan sisi miring. Kaki kedua sama dengan setengah sisi bujur sangkar, karena tinggi polihedron jatuh ke tengahnya.

Apotema yang diinginkan (sisi miring segitiga siku-siku) adalah (3² + 4^{2)=5 (cm).}

Sekarang Anda dapat menghitung nilai yang diperlukan: (46)5+6²=96 (lihat^2).

Jawab. 96 cm2.

Masalah 4

Kondisi. Diberikan piramida heksagonal biasa. Sisi alasnya 22 mm, rusuk samping 61 mm. Berapakah luas permukaan lateral polihedron ini?

Keputusan. Alasan di dalamnya sama seperti yang dijelaskan dalam masalah No. 2. Hanya diberikan sebuah piramida dengan bujur sangkar di dasarnya, dan sekarang menjadi segi enam.

Pertama-tama, luas alas dihitung menggunakan rumus di atas: (622²) / (4tg (180º/6))=726/(tg30º)=726 3 cm^2.

Sekarang Anda perlu mencari setengah keliling segitiga sama kaki, yang merupakan sisi sisinya. (22 + 612): 2 \u003d 72 cm. Tetap menghitung luas masing-masingsegitiga, lalu kalikan dengan enam dan tambahkan ke yang menjadi alasnya.

Perhitungan dengan rumus Heron: (72(72-22)(72-61)²)=√435600=660 cm^{2. Perhitungan yang akan memberikan luas permukaan lateral: 6606=3960 cm}2^{. Tetap menambahkannya untuk mengetahui seluruh permukaan: 5217, 47≈5217 cm}2^.

Jawab. Dasar - 726√3cm², permukaan samping - 3960cm², luas total - 5217cm^2.