Salah satu aksioma geometri menyatakan bahwa melalui dua titik mana pun dimungkinkan untuk menggambar satu garis lurus. Aksioma ini membuktikan bahwa ada ekspresi numerik unik yang secara unik menggambarkan objek geometris satu dimensi yang ditentukan. Pertimbangkan dalam artikel pertanyaan tentang bagaimana menulis persamaan garis lurus yang melalui dua titik.
Apa yang dimaksud dengan titik dan garis?
Sebelum mempertimbangkan pertanyaan membangun di ruang dan di pesawat garis lurus persamaan yang melewati sepasang titik yang berbeda, seseorang harus mendefinisikan objek geometris yang ditentukan.
Sebuah titik ditentukan secara unik oleh sekumpulan koordinat dalam sistem sumbu koordinat tertentu. Selain mereka, tidak ada lagi karakteristik untuk intinya. Dia adalah objek berdimensi nol.
Ketika berbicara tentang garis lurus, setiap orang membayangkan garis yang digambarkan pada selembar kertas putih. Pada saat yang sama, dimungkinkan untuk memberikan definisi geometris yang tepatobjek ini. Garis lurus adalah kumpulan titik yang hubungan masing-masing titik dengan titik lainnya akan menghasilkan himpunan vektor paralel.
Definisi ini digunakan ketika mengatur persamaan vektor garis lurus, yang akan dibahas di bawah ini.
Karena setiap garis dapat ditandai dengan segmen dengan panjang sembarang, garis tersebut dikatakan sebagai objek geometris satu dimensi.
Fungsi vektor angka
Persamaan melalui dua titik pada garis lurus yang lewat dapat ditulis dalam bentuk yang berbeda. Dalam ruang tiga dimensi dan dua dimensi, ekspresi numerik utama dan yang dapat dipahami secara intuitif adalah vektor.
Asumsikan bahwa ada beberapa segmen berarah u¯(a; b; c). Dalam ruang 3D, vektor u¯ dapat dimulai dari titik mana pun, sehingga koordinatnya menentukan himpunan vektor paralel tak terhingga. Namun, jika kita memilih titik tertentu P(x0; y0; z0) dan menempatkan itu sebagai awal dari vektor u¯, kemudian, mengalikan vektor ini dengan bilangan real sembarang, seseorang dapat memperoleh semua titik dari satu garis lurus dalam ruang. Artinya, persamaan vektor akan ditulis sebagai:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + (a; b; c)
Jelas, untuk kasus di pesawat, fungsi numeriknya berbentuk:
(x; y)=(x0; y0) + (a; b)
Kelebihan jenis persamaan ini dibandingkan dengan yang lain (dalam segmen, kanonik,bentuk umum) terletak pada kenyataan bahwa itu secara eksplisit berisi koordinat vektor arah. Yang terakhir ini sering digunakan untuk menentukan apakah garis sejajar atau tegak lurus.
Umum dalam segmen dan fungsi kanonik untuk garis lurus dalam ruang dua dimensi
Saat memecahkan masalah, terkadang Anda perlu menulis persamaan garis lurus yang melalui dua titik dalam bentuk tertentu. Oleh karena itu, cara lain untuk menentukan objek geometris ini dalam ruang dua dimensi harus diberikan (untuk kesederhanaan, kami mempertimbangkan kasus pada bidang).
Mari kita mulai dengan persamaan umum. Bentuknya:
Ax + By + C=0
Sebagai aturan, pada bidang persamaan garis lurus ditulis dalam bentuk ini, hanya y yang didefinisikan secara eksplisit melalui x.
Sekarang ubah ekspresi di atas menjadi berikut:
Ax + By=-C=>
x/(-C/A) + y/(-C/B)=1
Ungkapan ini disebut persamaan dalam segmen, karena penyebut untuk setiap variabel menunjukkan berapa lama segmen garis memotong pada sumbu koordinat yang sesuai relatif terhadap titik awal (0; 0).
Tetap memberikan contoh persamaan kanonik. Untuk melakukan ini, kami menulis persamaan vektor secara eksplisit:
x=x0+ a;
y=y0+ b
Mari kita nyatakan parameter dari sini dan samakan persamaan yang dihasilkan:
λ=(x - x0)/a;
λ=(y - y0)/b;
(x -x0)/a=(y - y0)/b
Persamaan terakhir disebut persamaan dalam bentuk kanonik atau simetris.
Masing-masing dapat dikonversi ke vektor dan sebaliknya.
Persamaan garis lurus yang melalui dua titik: teknik kompilasi
Kembali ke pertanyaan artikel. Misalkan ada dua titik dalam ruang:
M(x1; y1; z1) dan N(x 2; y2; z2)
Satu-satunya garis lurus yang melaluinya, persamaannya sangat mudah dibuat dalam bentuk vektor. Untuk melakukan ini, kami menghitung koordinat segmen berarah MN¯, kami memiliki:
MN¯=N - M=(x2-x1; y2- y1; z2-z1)
Tidak sulit untuk menebak bahwa vektor ini akan menjadi panduan untuk garis lurus, yang persamaannya harus diperoleh. Mengetahui bahwa itu juga melewati M dan N, Anda dapat menggunakan koordinat salah satu dari mereka untuk ekspresi vektor. Kemudian persamaan yang diinginkan berbentuk:
(x; y; z)=M + MN¯=>
(x; y; z)=(x1; y1; z1) + (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
Untuk kasus dalam ruang dua dimensi, kita memperoleh persamaan serupa tanpa partisipasi variabel z.
Segera setelah persamaan vektor untuk garis ditulis, itu dapat diterjemahkan ke dalam bentuk lain apa pun yang diperlukan oleh pertanyaan soal.
Tugas:tulis persamaan umum
Diketahui bahwa suatu garis lurus melalui titik-titik dengan koordinat (-1; 4) dan (3; 2). Persamaan garis lurus yang melaluinya perlu dibuat dalam bentuk umum, yang menyatakan y dalam x.
Untuk menyelesaikan soal, pertama kita tulis persamaannya dalam bentuk vektor. Koordinat vektor (panduan) adalah:
(3; 2) - (-1; 4)=(4; -2)
Maka bentuk vektor persamaan garis lurus adalah sebagai berikut:
(x; y)=(-1; 4) + (4; -2)
Tetap menulisnya dalam bentuk umum dalam bentuk y(x). Kami menulis ulang persamaan ini secara eksplisit, menyatakan parameter dan mengecualikannya dari persamaan:
x=-1 + 4λ=>λ=(x+1)/4;
y=4 - 2λ=>=(4-y)/2;
(x+1)/4=(4-y)/2
Dari persamaan kanonik yang dihasilkan, kami menyatakan y dan sampai pada jawaban untuk pertanyaan masalah:
y=-0,5x + 3,5
Keabsahan persamaan ini dapat diperiksa dengan mengganti koordinat titik-titik yang ditentukan dalam pernyataan masalah.
Masalah: garis lurus yang melalui pusat segmen
Sekarang mari kita selesaikan satu masalah yang menarik. Misalkan dua titik M(2; 1) dan N(5; 0) diberikan. Diketahui bahwa garis lurus melalui titik tengah segmen yang menghubungkan titik-titik dan tegak lurus terhadapnya. Tulis persamaan garis lurus yang melalui bagian tengah ruas dalam bentuk vektor.
Ekspresi numerik yang diinginkan dapat dibentuk dengan menghitung koordinat pusat ini dan menentukan vektor arah, yangruas membentuk sudut 90o.
Titik tengah segmen adalah:
S=(M + N)/2=(3, 5; 0, 5)
Sekarang mari kita hitung koordinat vektor MN¯:
MN¯=N - M=(3; -1)
Karena vektor arah untuk garis yang diinginkan tegak lurus terhadap MN¯, produk skalarnya sama dengan nol. Ini memungkinkan Anda untuk menghitung koordinat yang tidak diketahui (a; b) dari vektor kemudi:
a3 - b=0=>
b=3a
Sekarang tulis persamaan vektornya:
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + (a; 3a)=>
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + (1; 3)
Di sini kami telah mengganti produk aλ dengan parameter baru.
Jadi, kita telah membuat persamaan garis lurus yang melalui pusat segmen.
