Fungsi dan studi fitur-fiturnya adalah salah satu bab kunci dalam matematika modern. Komponen utama dari fungsi apa pun adalah grafik yang menggambarkan tidak hanya propertinya, tetapi juga parameter turunan dari fungsi ini. Mari kita lihat topik yang rumit ini. Jadi apa cara terbaik untuk menemukan titik maksimum dan minimum suatu fungsi?
Fungsi: Definisi
Variabel apa pun yang bergantung dalam beberapa cara pada nilai nilai lain dapat disebut fungsi. Misalnya, fungsi f(x2) adalah kuadrat dan menentukan nilai untuk seluruh himpunan x. Misalkan x=9, maka nilai fungsi kita akan sama dengan 92=81.
Fungsi datang dalam berbagai jenis: logika, vektor, logaritma, trigonometri, numerik, dan lainnya. Pikiran luar biasa seperti Lacroix, Lagrange, Leibniz dan Bernoulli terlibat dalam studi mereka. Tulisan-tulisan mereka berfungsi sebagai benteng dalam cara modern mempelajari fungsi. Sebelum menemukan titik minimum, sangat penting untuk memahami arti dari fungsi dan turunannya.
Turunan dan perannya
Semua fungsi ada ditergantung pada nilai variabelnya, yang berarti mereka dapat mengubah nilainya kapan saja. Pada grafik, ini akan digambarkan sebagai kurva yang turun atau naik di sepanjang sumbu y (ini adalah seluruh rangkaian angka "y" di sepanjang vertikal grafik). Jadi definisi titik fungsi maksimum dan minimum hanya dihubungkan dengan "osilasi" ini. Mari kita jelaskan apa hubungan ini.
Turunan dari sembarang fungsi digambarkan pada grafik untuk mempelajari karakteristik utamanya dan menghitung seberapa cepat fungsi berubah (yaitu mengubah nilainya tergantung pada variabel "x"). Pada saat fungsi meningkat, grafik turunannya juga akan meningkat, tetapi setiap detik fungsi dapat mulai menurun, dan kemudian grafik turunannya akan berkurang. Titik-titik di mana turunan berubah dari minus ke plus disebut titik minimum. Untuk mengetahui cara mencari titik minimum, Anda harus lebih memahami konsep turunan.
Bagaimana cara menghitung turunannya?
Mendefinisikan dan menghitung turunan suatu fungsi menyiratkan beberapa konsep dari kalkulus diferensial. Secara umum, definisi turunan dapat dinyatakan sebagai berikut: ini adalah nilai yang menunjukkan laju perubahan fungsi.
Cara matematika untuk menentukannya bagi banyak siswa tampaknya rumit, tetapi sebenarnya semuanya jauh lebih sederhana. Anda hanya perlu mengikutirencana standar untuk menemukan turunan dari setiap fungsi. Berikut ini menjelaskan bagaimana Anda dapat menemukan titik minimum dari suatu fungsi tanpa menerapkan aturan turunan dan tanpa menghafal tabel turunan.
- Anda dapat menghitung turunan suatu fungsi menggunakan grafik. Untuk melakukan ini, Anda perlu menggambarkan fungsi itu sendiri, lalu ambil satu titik di atasnya (titik A pada Gambar.) Gambar garis vertikal ke bawah ke sumbu absis (titik x0), dan di titik A gambarlah garis singgung grafik fungsi. Sumbu absis dan garis singgung membentuk sudut a. Untuk menghitung nilai seberapa cepat fungsi meningkat, Anda perlu menghitung garis singgung sudut ini a.
- Ternyata garis singgung sudut antara garis singgung dan arah sumbu x adalah turunan dari fungsi di daerah kecil dengan titik A. Metode ini dianggap sebagai cara geometris untuk menentukan turunan.
Metode meneliti suatu fungsi
Dalam kurikulum matematika sekolah, dimungkinkan untuk menemukan titik minimum suatu fungsi dengan dua cara. Kami telah menganalisis metode pertama menggunakan grafik, tetapi bagaimana menentukan nilai numerik dari turunan? Untuk melakukan ini, Anda perlu mempelajari beberapa rumus yang menjelaskan sifat turunan dan membantu mengubah variabel seperti "x" menjadi angka. Metode berikut bersifat universal, sehingga dapat diterapkan pada hampir semua jenis fungsi (baik geometri maupun logaritma).
- Fungsi harus disamakan dengan fungsi turunan, lalu sederhanakan ekspresinya menggunakan aturandiferensiasi.
- bagi dengan nol).
- Setelah itu, Anda harus mengubah bentuk asli fungsi menjadi persamaan sederhana, menyamakan seluruh ekspresi menjadi nol. Misalnya, jika fungsi terlihat seperti ini: f(x)=2x3+38x, maka menurut aturan pendiferensialan, turunannya sama dengan f'(x)=3x 2 +1. Kemudian kita ubah ekspresi ini menjadi persamaan dengan bentuk berikut: 3x2+1=0.
- Setelah menyelesaikan persamaan dan menemukan titik-titik "x", Anda harus menggambarnya pada sumbu x dan menentukan apakah turunan di daerah-daerah antara titik-titik yang ditandai ini positif atau negatif. Setelah penunjukan, akan menjadi jelas pada titik mana fungsi mulai berkurang, yaitu berubah tanda dari minus ke sebaliknya. Dengan cara ini Anda dapat menemukan poin minimum dan maksimum.
Aturan Diferensiasi
Bagian paling dasar dari mempelajari suatu fungsi dan turunannya adalah mengetahui aturan-aturan diferensiasi. Hanya dengan bantuan mereka dimungkinkan untuk mengubah ekspresi rumit dan fungsi kompleks yang besar. Mari kita berkenalan dengan mereka, ada cukup banyak, tetapi semuanya sangat sederhana karena sifat reguler dari fungsi daya dan logaritma.
- Turunan dari sembarang konstanta adalah nol (f(x)=0). Artinya, turunan f(x)=x5+ x - 160 akan berbentuk sebagai berikut: f' (x)=5x4+1.
- Turunan dari jumlah dua suku: (f+w)'=f'w + fw'.
- Turunan dari fungsi logaritma: (logad)'=d/ln ad. Rumus ini berlaku untuk semua jenis logaritma.
- Turunan derajat: (x)'=nxn-1. Misalnya, (9x2)'=92x=18x.
- Turunan fungsi sinusoidal: (sin a)'=cos a. Jika sin sudut a adalah 0,5, maka turunannya adalah 3/2.
Poin ekstrem
Kami telah menemukan cara mencari titik minimum, namun, ada konsep titik maksimum dari suatu fungsi. Jika minimum menunjukkan titik-titik di mana fungsi berubah dari minus ke plus, maka titik maksimum adalah titik-titik pada sumbu x di mana turunan fungsi berubah dari plus ke kebalikannya - minus.
Anda dapat menemukan titik maksimum menggunakan metode yang dijelaskan di atas, hanya saja harus diperhitungkan bahwa titik tersebut menunjukkan area di mana fungsi mulai berkurang, yaitu, turunannya akan lebih kecil dari nol.
Dalam matematika, merupakan kebiasaan untuk menggeneralisasi kedua konsep, menggantinya dengan frasa "titik ekstrem". Ketika tugas meminta untuk menentukan titik-titik ini, ini berarti perlu untuk menghitung turunan dari fungsi ini dan menemukan titik minimum dan maksimum.
