Akar kuadrat aritmatika dan sifat-sifatnya

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Terakhir diubah: 2023-12-17 05:30

Kita semua mempelajari akar kuadrat aritmatika di kelas aljabar di sekolah. Kebetulan jika pengetahuan tidak disegarkan, maka cepat dilupakan, begitu juga dengan akarnya. Artikel ini akan bermanfaat bagi siswa kelas delapan yang ingin menyegarkan pengetahuan mereka di bidang ini, dan anak sekolah lainnya, karena kami bekerja dengan akar di kelas 9, 10, dan 11.

Riwayat akar dan derajat

Bahkan di zaman kuno, dan khususnya di Mesir kuno, orang membutuhkan gelar untuk melakukan operasi pada angka. Ketika tidak ada konsep seperti itu, orang Mesir menulis produk dari nomor yang sama dua puluh kali. Tetapi segera solusi untuk masalah itu ditemukan - berapa kali angka yang harus dikalikan dengan dirinya sendiri mulai ditulis di sudut kanan atas di atasnya, dan bentuk rekaman ini bertahan hingga hari ini.

Dan sejarah akar kuadrat dimulai sekitar 500 tahun yang lalu. Itu ditunjuk dengan cara yang berbeda, dan hanya pada abad ketujuh belas Rene Descartes memperkenalkan tanda seperti itu, yang kita gunakan sampai hari ini.

Apa itu akar kuadrat

Mari kita mulai dengan menjelaskan apa itu akar kuadrat. Akar kuadrat dari beberapa bilangan c adalah bilangan non-negatif yang, jika dikuadratkan, akan sama dengan c. Dalam hal ini, c lebih besar dari atau sama dengan nol.

Untuk menempatkan sebuah angka di bawah akar, kita kuadratkan dan beri tanda akar di atasnya:

32=9, 3=9

Juga, kita tidak bisa mendapatkan nilai akar kuadrat dari bilangan negatif, karena bilangan apa pun dalam kuadrat adalah positif, yaitu:

c² ≧ 0, jika c adalah bilangan negatif, maka c^{2 < 0 - bertentangan dengan aturan.}

Untuk menghitung akar kuadrat dengan cepat, Anda perlu mengetahui tabel kuadrat dari angka.

Properti

Mari kita perhatikan sifat-sifat aljabar dari akar kuadrat.

1) Untuk mengekstrak akar kuadrat dari produk, Anda perlu mengambil akar dari setiap faktor. Artinya, dapat ditulis sebagai produk dari akar-akar faktor:

√ac=a × c, misalnya:

√36=4 × 9

2) Saat mengekstrak akar dari sebuah pecahan, akar perlu diekstraksi secara terpisah dari pembilang dan penyebutnya, yaitu, tuliskan sebagai hasil bagi dari akar-akarnya.

3) Nilai yang diperoleh dengan mengambil akar kuadrat suatu bilangan selalu sama dengan modulus bilangan ini, karena modulusnya hanya dapat positif:

√с2=, > 0.

4) Untuk membangkitkan akar kekuatan apa pun, kami meningkatkannyaekspresi radikal:

(√с)⁴=^{4, misalnya:}

(√2)⁶ =2⁶⁼⁶⁴⁼⁸

5) Kuadrat akar aritmatika dari c sama dengan bilangan itu sendiri:

(√s)2=s.

Akar bilangan irasional

Katakanlah akar enam belas itu mudah, tapi bagaimana cara mengambil akar dari bilangan seperti 7, 10, 11?

Bilangan yang akarnya merupakan pecahan tak periodik tak berhingga disebut irasional. Kami tidak dapat mengekstrak akarnya sendiri. Kita hanya bisa membandingkannya dengan angka lain. Misalnya, ambil akar dari 5 dan bandingkan dengan 4 dan 9. Jelas bahwa 4 < 5 < 9, lalu 2 < 5 < 3. Ini berarti bahwa nilai akar lima berada di antara dua dan tiga, tetapi ada banyak pecahan desimal di antara mereka, dan memetik masing-masing adalah cara yang meragukan untuk menemukan akarnya.

Anda dapat melakukan operasi ini pada kalkulator - ini adalah cara termudah dan tercepat, tetapi di kelas 8 Anda tidak akan pernah diminta untuk mengekstrak bilangan irasional dari akar kuadrat aritmatika. Anda hanya perlu mengingat nilai perkiraan dari akar dua dan akar tiga:

√2 1, 4, √3 1, 7.

Contoh

Sekarang, berdasarkan sifat-sifat akar kuadrat, kita akan menyelesaikan beberapa contoh:

1) 17² - 8²

Ingat rumus selisih kuadrat:

√(17-8) (17+8)=9 ×25

Kami tahu properti akar aritmatika kuadrat - untuk mengekstrak akar dari produk, Anda perlu mengekstraknya dari setiap faktor:

√9 × 25=3 × 5=15

2) 3 (2√3 + 12)=2 (√3)2 + 36

Terapkan properti lain dari akar - kuadrat dari akar aritmatika suatu bilangan sama dengan bilangan itu sendiri:

2 × 3 + 6=12

Penting! Seringkali, ketika mulai mengerjakan dan menyelesaikan contoh dengan akar kuadrat aritmatika, siswa membuat kesalahan berikut:

√12 + 3=12 + 3 - kamu tidak bisa melakukannya!

Kami tidak dapat mengambil akar dari setiap istilah. Tidak ada aturan seperti itu, tetapi bingung dengan mengambil akar dari setiap faktor. Jika kami memiliki entri ini:

√12 × 3, maka sebaiknya ditulis 12 × 3=12 × 3.

Jadi kita hanya bisa menulis:

√12 + 3=15