Ketidaksetaraan dan sistem ketidaksetaraan adalah salah satu topik yang diajarkan di aljabar sekolah menengah. Dalam hal kesulitan, ini bukan yang paling sulit, karena memiliki aturan sederhana (tentang mereka nanti). Sebagai aturan, anak sekolah mempelajari solusi sistem pertidaksamaan dengan cukup mudah. Ini juga disebabkan oleh fakta bahwa guru hanya "melatih" siswa mereka tentang topik ini. Dan mereka tidak bisa tidak melakukan ini, karena itu dipelajari di masa depan dengan penggunaan besaran matematika lainnya, dan juga diperiksa untuk OGE dan Unified State Examination. Dalam buku pelajaran sekolah, topik ketidaksetaraan dan sistem ketidaksetaraan dibahas dengan sangat rinci, jadi jika Anda akan mempelajarinya, maka yang terbaik adalah menggunakannya. Artikel ini hanya merupakan parafrase dari banyak materi dan mungkin mengandung beberapa kekurangan.
Konsep sistem pertidaksamaan
Jika kita beralih ke bahasa ilmiah, kita dapat mendefinisikan konsep "sistemketidaksamaan". Ini adalah model matematika yang mewakili beberapa ketidaksetaraan. Tentu saja, model ini membutuhkan solusi, dan itu akan menjadi jawaban umum untuk semua ketidaksetaraan sistem yang diusulkan dalam tugas (biasanya ditulis seperti ini, untuk contoh: "Pecahkan sistem pertidaksamaan 4 x + 1 > 2 dan 30 - x > 6… ").
Sistem pertidaksamaan dan sistem persamaan
Dalam proses mempelajari topik baru, kesalahpahaman sering muncul. Di satu sisi, semuanya jelas dan saya lebih suka mulai menyelesaikan tugas, tetapi di sisi lain, beberapa momen tetap dalam "bayangan", mereka tidak dipahami dengan baik. Juga, beberapa elemen pengetahuan yang sudah diperoleh dapat terjalin dengan yang baru. Kesalahan sering terjadi sebagai akibat dari tumpang tindih ini.
Oleh karena itu, sebelum melanjutkan ke analisis topik kita, kita harus mengingat kembali perbedaan antara persamaan dan pertidaksamaan, sistemnya. Untuk melakukan ini, perlu untuk mengklarifikasi sekali lagi apa konsep matematika ini. Persamaan selalu merupakan persamaan, dan selalu sama dengan sesuatu (dalam matematika, kata ini dilambangkan dengan tanda "="). Ketimpangan adalah model di mana satu nilai lebih besar atau lebih kecil dari yang lain, atau berisi pernyataan bahwa mereka tidak sama. Jadi, dalam kasus pertama, adalah tepat untuk berbicara tentang kesetaraan, dan dalam kasus kedua, tidak peduli seberapa jelas kedengarannya darinama itu sendiri, tentang ketidaksetaraan data awal. Sistem persamaan dan pertidaksamaan praktis tidak berbeda satu sama lain dan metode penyelesaiannya sama. Satu-satunya perbedaan adalah bahwa yang pertama menggunakan persamaan sedangkan yang kedua menggunakan ketidaksetaraan.
Jenis ketidaksetaraan
Ada dua jenis pertidaksamaan: numerik dan dengan variabel yang tidak diketahui. Tipe pertama diberikan nilai (angka) yang tidak sama satu sama lain, misalnya 8 > 10. Tipe kedua adalah pertidaksamaan yang mengandung variabel yang tidak diketahui (ditunjukkan dengan beberapa huruf alfabet Latin, paling sering X). Variabel ini perlu ditemukan. Tergantung pada banyaknya, model matematika membedakan antara pertidaksamaan dengan satu (mereka membentuk sistem pertidaksamaan dengan satu variabel) atau beberapa variabel (mereka membentuk sistem pertidaksamaan dengan beberapa variabel).
Dua jenis terakhir, menurut tingkat konstruksi dan tingkat kerumitan solusi, dibagi menjadi sederhana dan kompleks. Pertidaksamaan sederhana disebut juga pertidaksamaan linier. Mereka, pada gilirannya, dibagi menjadi ketat dan tidak ketat. Secara khusus "katakan" bahwa satu nilai harus kurang atau lebih, jadi ini adalah ketidaksetaraan murni. Ada beberapa contoh: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5, dll. Yang tidak ketat juga termasuk kesetaraan. Artinya, satu nilai bisa lebih besar atau sama dengan nilai lain (tanda "≧") atau lebih kecil atau sama dengan nilai lain (tanda "≦"). Masih dalam antreanDalam pertidaksamaan, variabel tidak berdiri di akar, kuadrat, tidak habis dibagi apa pun, itulah sebabnya mereka disebut "sederhana". Yang kompleks termasuk variabel yang tidak diketahui, yang penemuannya membutuhkan lebih banyak operasi matematis. Mereka sering berbentuk persegi, kubus atau di bawah akar, mereka dapat berupa modular, logaritmik, pecahan, dll. Tetapi karena tugas kita adalah memahami solusi sistem pertidaksamaan, kita akan berbicara tentang sistem pertidaksamaan linier. Namun, sebelum itu, beberapa kata harus dikatakan tentang properti mereka.
Sifat pertidaksamaan
Sifat pertidaksamaan meliputi ketentuan sebagai berikut:
- Tanda pertidaksamaan dibalik jika operasi untuk mengubah barisan sisi diterapkan (misalnya, jika t1 t2, lalu t 2 t1).
- Kedua bagian pertidaksamaan memungkinkan Anda untuk menambahkan angka yang sama ke diri Anda sendiri (misalnya, jika t1 t2, lalu t 1 + angka t2 + angka).
- Dua pertidaksamaan atau lebih dengan tanda arah yang sama memungkinkan Anda untuk menambahkan bagian kiri dan kanannya (misalnya, jika t1 t2 , t3 t4, lalu t1 + t 3t2 + t4).
- Kedua bagian pertidaksamaan memungkinkan dirinya dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif yang sama (misalnya, jika t1 ≦ t2dan angka 0, lalu angka t1 angka t2).
- Dua pertidaksamaan atau lebih yang memiliki suku positif dan tanda arah yang sama memungkinkankalikan satu sama lain (misalnya, jika t1 ≦ t2, t3 t 4, t1, t2, t3, t 4 0 lalu t1 t3 ≦ t2t4).
- Kedua bagian pertidaksamaan dapat dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama, tetapi tanda pertidaksamaan berubah (misalnya, jika t1 t 2 dan angka 0, lalu angka t1 angka t2).
- Semua pertidaksamaan adalah transitif (misalnya, jika t1 t2 dan t2t3, lalu t1 t3).
Sekarang, setelah mempelajari ketentuan utama dari teori pertidaksamaan, kita dapat melanjutkan langsung ke pertimbangan aturan untuk menyelesaikan sistem mereka.
Solusi sistem pertidaksamaan. Informasi Umum. Solusi
Seperti disebutkan di atas, solusinya adalah nilai variabel yang cocok dengan semua pertidaksamaan dari sistem yang diberikan. Penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah implementasi operasi matematika yang pada akhirnya mengarah pada solusi seluruh sistem atau membuktikan bahwa sistem tersebut tidak memiliki solusi. Dalam hal ini, variabel dikatakan mengacu pada himpunan bilangan kosong (ditulis sebagai berikut: huruf yang menunjukkan variabel (tanda “milik”) (tanda “kumpulan kosong”), misalnya x (dibaca seperti ini: "Variabel "x" milik himpunan kosong") Ada beberapa cara untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan:grafik, aljabar, metode substitusi. Perlu dicatat bahwa mereka merujuk pada model matematika yang memiliki beberapa variabel yang tidak diketahui. Jika hanya ada satu, metode spasi akan dilakukan.
Metode grafik
Memungkinkan Anda untuk memecahkan sistem ketidaksetaraan dengan beberapa yang tidak diketahui (dari dua atau lebih). Berkat metode ini, sistem pertidaksamaan linier diselesaikan dengan cukup mudah dan cepat, jadi ini adalah metode yang paling umum. Ini karena membuat plot mengurangi jumlah operasi penulisan matematika. Menjadi sangat menyenangkan untuk beristirahat sejenak dari pena, mengambil pensil dengan penggaris dan melanjutkan dengan tindakan lebih lanjut dengan bantuan mereka ketika banyak pekerjaan telah dilakukan dan Anda ingin sedikit variasi. Namun, beberapa tidak menyukai metode ini karena Anda harus melepaskan diri dari tugas dan mengalihkan aktivitas mental Anda ke menggambar. Namun, ini adalah cara yang sangat efektif.
Untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan menggunakan metode grafik, semua anggota pertidaksamaan harus dipindahkan ke ruas kirinya. Tanda-tanda akan dibalik, nol harus ditulis di sebelah kanan, kemudian setiap pertidaksamaan harus ditulis secara terpisah. Akibatnya, fungsi akan diperoleh dari pertidaksamaan. Setelah itu, Anda bisa mendapatkan pensil dan penggaris: sekarang Anda perlu menggambar grafik dari setiap fungsi yang diperoleh. Seluruh himpunan bilangan yang berada pada interval perpotongannya akan menjadi solusi sistem pertidaksamaan.
cara aljabar
Memungkinkan Anda untuk memecahkan sistem pertidaksamaan dengan dua variabel yang tidak diketahui. Pertidaksamaan juga harus memiliki tanda pertidaksamaan yang sama (yaitu, pertidaksamaan harus hanya berisi tanda "lebih besar dari", atau hanya tanda "kurang dari", dll.) Terlepas dari keterbatasannya, metode ini juga lebih rumit. Ini diterapkan dalam dua langkah.
Yang pertama melibatkan menyingkirkan salah satu variabel yang tidak diketahui. Pertama Anda harus memilihnya, lalu periksa keberadaan angka di depan variabel ini. Jika tidak ada (maka variabel akan terlihat seperti satu huruf), maka kami tidak mengubah apa pun, jika ada (jenis variabel akan, misalnya, 5y atau 12y), maka perlu untuk memastikan bahwa pada setiap pertidaksamaan bilangan di depan variabel yang dipilih adalah sama. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengalikan setiap anggota pertidaksamaan dengan faktor umum, misalnya, jika 3y ditulis dalam pertidaksamaan pertama, dan 5y dalam pertidaksamaan kedua, maka Anda perlu mengalikan semua anggota pertidaksamaan pertama dengan 5, dan yang kedua dengan 3. Anda mendapatkan masing-masing 15 tahun dan 15 tahun.
Keputusan tahap kedua. Hal ini diperlukan untuk mentransfer sisi kiri setiap pertidaksamaan ke sisi kanannya dengan perubahan tanda setiap istilah ke kebalikannya, tulis nol di sebelah kanan. Kemudian datang bagian yang menyenangkan: menyingkirkan variabel yang dipilih (atau dikenal sebagai "pengurangan") sambil menambahkan ketidaksetaraan. Anda akan mendapatkan pertidaksamaan dengan satu variabel yang perlu diselesaikan. Setelah itu, Anda harus melakukan hal yang sama, hanya dengan variabel lain yang tidak diketahui. Hasil yang didapat akan menjadi solusi dari sistem.
Metode Substitusi
Memungkinkan Anda untuk memecahkan sistem ketidaksetaraan ketika Anda memiliki kesempatan untuk memperkenalkan variabel baru. Biasanya metode ini digunakan jika variabel yang tidak diketahui dalam satu suku pertidaksamaan dipangkatkan ke empat, dan di suku lain dikuadratkan. Dengan demikian, metode ini ditujukan untuk mengurangi tingkat ketidaksetaraan dalam sistem. Pertidaksamaan sampel x4 - x2 - 1 0 diselesaikan dengan cara sebagai berikut. Sebuah variabel baru diperkenalkan, misalnya t. Mereka menulis: "Biarkan t=x2", maka model ditulis ulang dalam bentuk baru. Dalam kasus kami, kami mendapatkan t2 - t - 1 0. Pertidaksamaan ini perlu diselesaikan dengan metode interval (tentang itu nanti), kemudian kembali ke variabel X, lalu lakukan hal yang sama dengan pertidaksamaan lainnya. Jawaban yang diterima akan menjadi keputusan sistem.
Metode interval
Ini adalah cara termudah untuk menyelesaikan sistem ketidaksetaraan, dan pada saat yang sama bersifat universal dan tersebar luas. Ini digunakan di sekolah menengah, dan bahkan di sekolah menengah. Esensinya terletak pada kenyataan bahwa siswa mencari interval ketidaksetaraan pada garis bilangan, yang digambar di buku catatan (ini bukan grafik, tetapi hanya garis lurus biasa dengan angka). Di mana interval pertidaksamaan berpotongan, solusi sistem ditemukan. Untuk menggunakan metode spasi, ikuti langkah-langkah berikut:
- Semua anggota dari setiap pertidaksamaan dipindahkan ke ruas kiri dengan perubahan tanda ke lawan (tulisan nol di sebelah kanan).
- Pertidaksamaan ditulis secara terpisah, solusi masing-masing ditentukan.
- Perpotongan pertidaksamaan pada numeriklurus. Semua angka di persimpangan ini akan menjadi solusinya.
Mana cara yang digunakan?
Jelas yang tampaknya paling mudah dan nyaman, tetapi ada kalanya tugas memerlukan metode tertentu. Paling sering, mereka mengatakan bahwa Anda perlu menyelesaikannya menggunakan grafik atau menggunakan metode interval. Metode aljabar dan substitusi sangat jarang digunakan atau tidak digunakan sama sekali, karena cukup rumit dan membingungkan, dan selain itu, metode ini lebih banyak digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan daripada pertidaksamaan, jadi Anda harus menggunakan menggambar grafik dan interval. Mereka membawa visibilitas, yang tidak bisa tidak berkontribusi pada pelaksanaan operasi matematika yang efisien dan cepat.
Jika sesuatu tidak berhasil
Selama mempelajari topik tertentu dalam aljabar, tentu saja mungkin ada masalah dengan pemahamannya. Dan ini normal, karena otak kita dirancang sedemikian rupa sehingga tidak mampu memahami materi yang kompleks dalam sekali jalan. Seringkali Anda perlu membaca ulang sebuah paragraf, meminta bantuan guru, atau berlatih memecahkan masalah umum. Dalam kasus kami, mereka terlihat, misalnya, seperti ini: "Pecahkan sistem pertidaksamaan 3 x + 1 0 dan 2 x - 1 > 3". Dengan demikian, usaha pribadi, bantuan dari orang luar dan latihan membantu dalam memahami topik yang kompleks.
Reshebnik?
Dan buku solusinya juga sangat bagus, tetapi bukan untuk menyontek pekerjaan rumah, tetapi untuk swadaya. Di dalamnya Anda dapat menemukan sistem ketidaksetaraan dengan solusi, lihatmereka (seperti templat), cobalah untuk memahami dengan tepat bagaimana penulis solusi mengatasi tugas tersebut, dan kemudian mencoba melakukannya sendiri.
Kesimpulan
Aljabar adalah salah satu mata pelajaran tersulit di sekolah. Nah, apa yang bisa Anda lakukan? Matematika selalu seperti ini: untuk beberapa hal itu datang dengan mudah, dan bagi yang lain sulit. Tetapi bagaimanapun juga, harus diingat bahwa program pendidikan umum dirancang sedemikian rupa sehingga setiap siswa dapat mengatasinya. Selain itu, Anda perlu mengingat sejumlah besar asisten. Beberapa di antaranya telah disebutkan di atas.
