Bahkan di sekolah, kita masing-masing mempelajari persamaan dan, tentu saja, sistem persamaan. Namun tidak banyak orang yang mengetahui bahwa ada beberapa cara untuk mengatasinya. Hari ini kita akan menganalisis secara rinci semua metode untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier, yang terdiri dari lebih dari dua persamaan.
Sejarah
Hari ini diketahui bahwa seni memecahkan persamaan dan sistemnya berasal dari Babel dan Mesir kuno. Namun, persamaan dalam bentuknya yang biasa muncul setelah munculnya tanda sama dengan "=", yang diperkenalkan pada tahun 1556 oleh ahli matematika Inggris Record. Ngomong-ngomong, tanda ini dipilih karena suatu alasan: itu berarti dua segmen paralel yang sama. Memang, tidak ada contoh kesetaraan yang lebih baik.
Pendiri sebutan huruf modern yang tidak diketahui dan tanda derajat adalah ahli matematika Prancis Francois Viet. Namun, sebutannya berbeda secara signifikan dari hari ini. Misalnya, ia menunjukkan kuadrat dari angka yang tidak diketahui dengan huruf Q (lat. "quadratus"), dan kubus dengan huruf C (lat. "cubus"). Sebutan ini sekarang tampak tidak nyaman, tapi kemudianitu adalah cara yang paling mudah dipahami untuk menulis sistem persamaan aljabar linier.
Namun, kelemahan dari metode penyelesaian saat itu adalah matematikawan hanya mempertimbangkan akar positif. Mungkin ini karena fakta bahwa nilai negatif tidak memiliki kegunaan praktis. Dengan satu atau lain cara, matematikawan Italia Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano dan Rafael Bombellilah yang pertama kali mempertimbangkan akar negatif pada abad ke-16. Dan tampilan modern, metode utama untuk menyelesaikan persamaan kuadrat (melalui diskriminan) dibuat hanya pada abad ke-17 berkat karya Descartes dan Newton.
Pada pertengahan abad ke-18, matematikawan Swiss Gabriel Cramer menemukan cara baru untuk mempermudah penyelesaian sistem persamaan linier. Metode ini kemudian dinamai menurut namanya dan sampai hari ini kami menggunakannya. Tetapi kita akan berbicara tentang metode Cramer nanti, tetapi untuk saat ini kita akan membahas persamaan linier dan metode untuk menyelesaikannya secara terpisah dari sistem.
Persamaan linier
Persamaan linier adalah persamaan paling sederhana dengan variabel. Mereka diklasifikasikan sebagai aljabar. Persamaan linier ditulis dalam bentuk umum sebagai berikut: 2+…a x =b. Kita akan membutuhkan representasi mereka dalam formulir ini ketika mengkompilasi sistem dan matriks lebih lanjut.
Sistem persamaan aljabar linier
Definisi istilah ini adalah: ini adalah himpunan persamaan yang memiliki persamaan yang tidak diketahui dan solusi yang umum. Sebagai aturan, di sekolah semuanya diputuskan oleh sistemdengan dua atau bahkan tiga persamaan. Tetapi ada sistem dengan empat atau lebih komponen. Mari kita cari tahu cara menuliskannya terlebih dahulu sehingga nyaman untuk menyelesaikannya nanti. Pertama, sistem persamaan aljabar linier akan terlihat lebih baik jika semua variabel ditulis sebagai x dengan indeks yang sesuai: 1, 2, 3, dan seterusnya. Kedua, semua persamaan harus direduksi menjadi bentuk kanonik: a1x1+a2 x 2+…a x =b.
Setelah semua langkah ini, kita dapat mulai berbicara tentang cara menemukan solusi untuk sistem persamaan linier. Matriks akan sangat berguna untuk ini.
Matriks
Matriks adalah tabel yang terdiri dari baris dan kolom, dan elemen-elemennya terletak di persimpangannya. Ini bisa berupa nilai atau variabel tertentu. Paling sering, untuk menunjuk elemen, subskrip ditempatkan di bawahnya (misalnya, a11 atau a23). Indeks pertama berarti nomor baris dan yang kedua nomor kolom. Pada matriks, serta elemen matematika lainnya, Anda dapat melakukan berbagai operasi. Jadi kamu bisa:
1) Kurangi dan tambahkan tabel dengan ukuran yang sama.
2) Kalikan matriks dengan beberapa angka atau vektor.
3) Transpose: Mengubah baris matriks menjadi kolom dan kolom menjadi baris.
4) Kalikan matriks jika jumlah baris salah satu matriks sama dengan jumlah kolom matriks lainnya.
Kami akan membahas semua teknik ini secara lebih rinci, karena akan berguna bagi kami di masa mendatang. Pengurangan dan penjumlahan matriks sangatlah mudah. Jadiseperti yang kita ambil matriks dengan ukuran yang sama, maka setiap elemen dari satu tabel sesuai dengan setiap elemen yang lain. Jadi, kami menambahkan (mengurangi) dua elemen ini (penting bahwa mereka berada di tempat yang sama dalam matriks mereka). Saat mengalikan matriks dengan angka atau vektor, Anda hanya perlu mengalikan setiap elemen matriks dengan angka (atau vektor) tersebut. Transposisi adalah proses yang sangat menarik. Terkadang sangat menarik untuk melihatnya dalam kehidupan nyata, misalnya, ketika mengubah orientasi tablet atau ponsel. Ikon pada desktop adalah sebuah matriks, dan ketika Anda mengubah posisinya, ia akan berubah posisi dan menjadi lebih lebar, tetapi tingginya berkurang.
Mari kita lihat lagi proses seperti perkalian matriks. Meskipun tidak akan berguna bagi kita, akan tetap bermanfaat untuk mengetahuinya. Anda dapat mengalikan dua matriks hanya jika jumlah kolom dalam satu tabel sama dengan jumlah baris di tabel lainnya. Sekarang mari kita ambil elemen baris dari satu matriks dan elemen kolom yang sesuai dari matriks lain. Kami mengalikannya satu sama lain dan kemudian menambahkannya (yaitu, misalnya, produk dari elemen a11 dan a12 oleh b 12dan b22 akan sama dengan: a11b12 + a 12 b22). Dengan demikian, satu elemen tabel diperoleh, dan diisi lebih lanjut dengan metode serupa.
Sekarang kita bisa mulai melihat bagaimana sistem persamaan linear diselesaikan.
metode Gauss
Topik ini mulai menyebar bahkan di sekolah. Kita tahu betul konsep "sistem dua persamaan linier" dan tahu bagaimana menyelesaikannya. Tetapi bagaimana jika jumlah persamaan lebih dari dua? Metode Gauss akan membantu kita dalam hal ini.
Tentu saja, metode ini nyaman digunakan jika Anda membuat matriks dari sistem. Tetapi Anda tidak dapat mengubahnya dan menyelesaikannya dalam bentuk yang paling murni.
Jadi bagaimana metode ini menyelesaikan sistem persamaan linear Gaussian? Omong-omong, meskipun metode ini dinamai menurut namanya, itu ditemukan di zaman kuno. Gauss mengusulkan hal berikut: untuk melakukan operasi dengan persamaan untuk akhirnya mereduksi seluruh himpunan menjadi bentuk bertahap. Artinya, perlu bahwa dari atas ke bawah (jika ditempatkan dengan benar) dari persamaan pertama hingga terakhir, satu yang tidak diketahui berkurang. Dengan kata lain, kita perlu memastikan bahwa kita mendapatkan, katakanlah, tiga persamaan: yang pertama - tiga yang tidak diketahui, yang kedua - dua, yang ketiga - satu. Kemudian dari persamaan terakhir kita cari yang pertama tidak diketahui, substitusikan nilainya ke persamaan kedua atau pertama, lalu cari dua variabel sisanya.
Metode Cramer
Untuk menguasai metode ini, sangat penting untuk menguasai keterampilan penjumlahan, pengurangan matriks, dan Anda juga harus dapat menemukan determinan. Oleh karena itu, jika Anda melakukan semua ini dengan buruk atau tidak tahu caranya sama sekali, Anda harus belajar dan berlatih.
Apa inti dari metode ini, dan bagaimana membuatnya sehingga diperoleh sistem persamaan Cramer linier? Semuanya sangat sederhana. Kita harus membangun matriks dari koefisien numerik (hampir selalu) dari sistem persamaan aljabar linier. Untuk melakukan ini, cukup ambil angka di depan yang tidak diketahui dan atur menjaditabel dalam urutan di mana mereka dicatat dalam sistem. Jika angka didahului dengan tanda "-", maka kita menuliskan koefisien negatif. Jadi, kami telah menyusun matriks pertama dari koefisien yang tidak diketahui, tidak termasuk angka setelah tanda sama dengan (tentu saja, persamaan harus direduksi ke bentuk kanonik, ketika hanya angka di sebelah kanan, dan semua yang tidak diketahui dengan koefisien di sebelah kiri). Maka Anda perlu membuat beberapa matriks lagi - satu untuk setiap variabel. Untuk melakukan ini, kami mengganti secara bergantian setiap kolom dengan koefisien dalam matriks pertama dengan kolom angka setelah tanda sama dengan. Jadi, kami memperoleh beberapa matriks dan kemudian menemukan determinannya.
Setelah kita menemukan determinannya, soalnya kecil. Kami memiliki matriks awal, dan ada beberapa matriks yang dihasilkan yang sesuai dengan variabel yang berbeda. Untuk mendapatkan solusi sistem, kita membagi determinan tabel yang dihasilkan dengan determinan tabel awal. Angka yang dihasilkan adalah nilai dari salah satu variabel. Demikian pula, kami menemukan semua yang tidak diketahui.
Metode lain
Ada beberapa metode lagi untuk mendapatkan solusi sistem persamaan linear. Misalnya, yang disebut metode Gauss-Jordan, yang digunakan untuk menemukan solusi sistem persamaan kuadrat dan juga dikaitkan dengan penggunaan matriks. Ada juga metode Jacobi untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier. Ini adalah yang paling mudah untuk beradaptasi dengan komputer dan digunakan dalam komputasi.
Kasus sulit
Kompleksitas biasanya terjadi ketika jumlah persamaan lebih kecil dari jumlah variabel. Kemudian kita dapat mengatakan dengan pasti bahwa sistem tersebut tidak konsisten (yaitu, tidak memiliki akar), atau jumlah penyelesaiannya cenderung tak terhingga. Jika kita memiliki kasus kedua, maka kita perlu menuliskan solusi umum dari sistem persamaan linier. Ini akan berisi setidaknya satu variabel.
Kesimpulan
Di sini kita sampai pada akhir. Untuk meringkas: kami telah menganalisis apa itu sistem dan matriks, kami telah belajar bagaimana menemukan solusi umum untuk sistem persamaan linier. Selain itu, opsi lain juga dipertimbangkan. Kami menemukan bagaimana sistem persamaan linier diselesaikan: metode Gauss dan metode Cramer. Kami berbicara tentang kasus-kasus sulit dan cara lain untuk menemukan solusi.
Sebenarnya, topik ini jauh lebih luas, dan jika Anda ingin lebih memahaminya, kami menyarankan Anda untuk membaca literatur yang lebih khusus.
