Deret Fourier adalah representasi dari fungsi yang diambil secara arbitrer dengan periode tertentu sebagai deret. Secara umum, solusi ini disebut dekomposisi elemen dalam basis ortogonal. Perluasan fungsi dalam deret Fourier adalah alat yang cukup ampuh untuk menyelesaikan berbagai masalah karena sifat-sifat transformasi ini ketika mengintegrasikan, membedakan, serta menggeser ekspresi dalam argumen dan konvolusi.
Seseorang yang tidak akrab dengan matematika tingkat tinggi, serta karya-karya ilmuwan Prancis Fourier, kemungkinan besar tidak akan mengerti apa "baris" ini dan untuk apa mereka. Sementara itu, transformasi ini telah menjadi cukup padat dalam hidup kita. Ini digunakan tidak hanya oleh ahli matematika, tetapi juga oleh fisikawan, ahli kimia, dokter, astronom, seismolog, ahli kelautan dan banyak lainnya. Mari kita lihat lebih dekat karya ilmuwan besar Prancis, yang membuat penemuan lebih dulu.
Manusia dan Transformasi Fourier
Deret Fourier adalah salah satu metode (bersama dengan analisis dan lainnya) dari transformasi Fourier. Proses ini terjadi setiap kali seseorang mendengar suara. Telinga kita secara otomatis mengubah suaraombak. Gerakan osilasi partikel elementer dalam media elastis didekomposisi menjadi baris (sepanjang spektrum) nilai berturut-turut dari tingkat volume untuk nada dengan ketinggian yang berbeda. Selanjutnya, otak mengubah data ini menjadi suara yang familiar bagi kita. Semua ini terjadi di samping keinginan atau kesadaran kita, dengan sendirinya, tetapi untuk memahami proses ini, diperlukan beberapa tahun untuk mempelajari matematika tingkat tinggi.
Lebih lanjut tentang Transformasi Fourier
Transformasi Fourier dapat dilakukan dengan metode analitik, numerik, dan lainnya. Deret Fourier mengacu pada cara numerik untuk menguraikan proses osilasi apa pun - mulai dari pasang surut air laut dan gelombang cahaya hingga siklus aktivitas matahari (dan objek astronomi lainnya). Dengan menggunakan teknik matematika ini, dimungkinkan untuk menganalisis fungsi, yang mewakili setiap proses osilasi sebagai rangkaian komponen sinusoidal yang bergerak dari minimum ke maksimum dan sebaliknya. Transformasi Fourier adalah fungsi yang menggambarkan fase dan amplitudo sinusoida yang sesuai dengan frekuensi tertentu. Proses ini dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan yang sangat kompleks yang menggambarkan proses dinamis yang terjadi di bawah pengaruh energi termal, cahaya atau listrik. Juga, deret Fourier memungkinkan untuk mengisolasi komponen konstan dalam sinyal osilasi kompleks, yang memungkinkan untuk menafsirkan dengan benar pengamatan eksperimental yang diperoleh dalam kedokteran, kimia, dan astronomi.
Latar belakang sejarah
Bapak pendiri teori iniJean Baptiste Joseph Fourier adalah seorang matematikawan Perancis. Transformasi ini kemudian dinamai menurut namanya. Awalnya, ilmuwan menerapkan metodenya untuk mempelajari dan menjelaskan mekanisme konduksi panas - penyebaran panas dalam padatan. Fourier menyarankan bahwa distribusi awal gelombang panas yang tidak teratur dapat didekomposisi menjadi sinusoid yang paling sederhana, yang masing-masing akan memiliki suhu minimum dan maksimumnya sendiri, serta fasenya sendiri. Dalam hal ini, setiap komponen tersebut akan diukur dari minimum ke maksimum dan sebaliknya. Fungsi matematika yang menggambarkan puncak atas dan bawah kurva, serta fase dari masing-masing harmonik, disebut transformasi Fourier dari ekspresi distribusi suhu. Penulis teori ini mereduksi fungsi distribusi umum, yang sulit dijelaskan secara matematis, menjadi deret fungsi sinus dan kosinus periodik yang sangat mudah ditangani yang dijumlahkan dengan distribusi aslinya.
Prinsip transformasi dan pandangan orang-orang sezaman
Sesama ilmuwan - matematikawan terkemuka di awal abad kesembilan belas - tidak menerima teori ini. Keberatan utama adalah pernyataan Fourier bahwa fungsi diskontinu yang menggambarkan garis lurus atau kurva diskontinu dapat direpresentasikan sebagai jumlah ekspresi sinusoidal yang kontinu. Sebagai contoh, pertimbangkan "langkah" Heaviside: nilainya nol di sebelah kiri celah dan satu di sebelah kanan. Fungsi ini menggambarkan ketergantungan arus listrik pada variabel waktu ketika rangkaian ditutup. Orang-orang sezaman dengan teori pada waktu itu belum pernah menemukan yang seperti itusituasi di mana ekspresi diskontinu akan dijelaskan oleh kombinasi fungsi biasa yang kontinu, seperti eksponensial, sinusoida, linier, atau kuadrat.
Apa yang membingungkan matematikawan Prancis dalam teori Fourier?
Bagaimanapun, jika ahli matematika itu benar dalam pernyataannya, kemudian menjumlahkan deret Fourier trigonometri tak hingga, Anda bisa mendapatkan representasi yang tepat dari ekspresi langkah meskipun memiliki banyak langkah yang serupa. Pada awal abad kesembilan belas, pernyataan seperti itu tampak tidak masuk akal. Namun terlepas dari semua keraguan, banyak matematikawan telah memperluas ruang lingkup studi fenomena ini, membawanya di luar cakupan studi konduktivitas termal. Namun, sebagian besar ilmuwan terus bingung dengan pertanyaan: "Dapatkah jumlah deret sinusoidal konvergen ke nilai eksak dari fungsi diskontinu?"
Deret Konvergensi Fourier: contoh
Pertanyaan tentang konvergensi muncul setiap kali perlu untuk menjumlahkan deret bilangan tak hingga. Untuk memahami fenomena ini, pertimbangkan contoh klasik. Bisakah Anda mencapai dinding jika setiap langkah berturut-turut berukuran setengah dari langkah sebelumnya? Misalkan Anda berada dua meter dari gawang, langkah pertama membawa Anda lebih dekat ke titik tengah, langkah berikutnya ke tanda tiga perempat, dan setelah langkah kelima Anda akan menempuh hampir 97 persen jalan. Namun, tidak peduli berapa banyak langkah yang Anda ambil, Anda tidak akan mencapai tujuan yang diinginkan dalam arti matematis yang ketat. Dengan menggunakan perhitungan numerik, seseorang dapat membuktikan bahwa pada akhirnya seseorang dapat menjadi sedekat yang dia suka.jarak tertentu yang kecil. Pembuktian ini sama dengan menunjukkan bahwa jumlah nilai setengah, seperempat, dst. akan cenderung satu.
Pertanyaan Konvergensi: Kedatangan Kedua, atau Alat Lord Kelvin
Berulang kali pertanyaan ini diajukan pada akhir abad kesembilan belas, ketika deret Fourier dicoba digunakan untuk memprediksi intensitas pasang surut. Pada saat ini, Lord Kelvin menemukan perangkat, yang merupakan perangkat komputasi analog yang memungkinkan pelaut militer dan armada pedagang untuk melacak fenomena alam ini. Mekanisme ini menentukan rangkaian fase dan amplitudo dari tabel ketinggian pasang surut dan momen waktu yang sesuai, diukur dengan cermat di pelabuhan tertentu sepanjang tahun. Setiap parameter merupakan komponen sinusoidal dari ekspresi tinggi pasang surut dan merupakan salah satu komponen reguler. Hasil pengukuran dimasukkan ke dalam kalkulator Lord Kelvin, yang mensintesis kurva yang memprediksi ketinggian air sebagai fungsi waktu untuk tahun berikutnya. Segera kurva serupa dibuat untuk semua pelabuhan di dunia.
Dan jika prosesnya terputus oleh fungsi yang terputus-putus?
Pada saat itu, tampak jelas bahwa alat prediksi gelombang pasang dengan sejumlah besar elemen penghitung dapat menghitung sejumlah besar fase dan amplitudo dan dengan demikian memberikan prediksi yang lebih akurat. Namun demikian, ternyata keteraturan ini tidak diamati dalam kasus-kasus di mana ekspresi pasang surut, yang mengikutimensintesis, mengandung lompatan tajam, yaitu terputus-putus. Jika data dimasukkan ke dalam perangkat dari tabel momen waktu, maka menghitung beberapa koefisien Fourier. Fungsi asli dipulihkan berkat komponen sinusoidal (sesuai dengan koefisien yang ditemukan). Perbedaan antara ekspresi asli dan yang dipulihkan dapat diukur pada titik mana pun. Saat melakukan perhitungan dan perbandingan berulang, terlihat bahwa nilai error terbesar tidak berkurang. Namun, mereka terlokalisasi di wilayah yang sesuai dengan titik diskontinuitas, dan cenderung nol di titik lainnya. Pada tahun 1899, hasil ini secara teoritis dikonfirmasi oleh Joshua Willard Gibbs dari Universitas Yale.
Konvergensi Deret Fourier dan Perkembangan Matematika Secara Umum
Analisis Fourier tidak berlaku untuk ekspresi yang berisi jumlah burst tak terbatas dalam interval tertentu. Secara umum, deret Fourier, jika fungsi aslinya adalah hasil pengukuran fisik nyata, selalu konvergen. Pertanyaan tentang konvergensi proses ini untuk kelas fungsi tertentu telah menyebabkan munculnya bagian baru dalam matematika, misalnya, teori fungsi umum. Hal ini terkait dengan nama-nama seperti L. Schwartz, J. Mikusinsky dan J. Temple. Dalam kerangka teori ini, dasar teoretis yang jelas dan tepat telah dibuat untuk ekspresi seperti fungsi delta Dirac (ini menggambarkan area dari satu area yang terkonsentrasi di lingkungan suatu titik yang sangat kecil) dan Heaviside " melangkah". Berkat karya ini, deret Fourier dapat diterapkan padamemecahkan persamaan dan masalah yang melibatkan konsep intuitif: muatan titik, massa titik, dipol magnet, serta beban terpusat pada balok.
Metode Fourier
Deret Fourier, sesuai dengan prinsip interferensi, dimulai dengan penguraian bentuk kompleks menjadi bentuk yang lebih sederhana. Misalnya, perubahan aliran panas dijelaskan oleh perjalanannya melalui berbagai rintangan yang terbuat dari bahan penyekat panas berbentuk tidak teratur atau perubahan permukaan bumi - gempa bumi, perubahan orbit benda langit - pengaruh planet. Sebagai aturan, persamaan serupa yang menjelaskan sistem klasik sederhana diselesaikan secara mendasar untuk setiap gelombang individu. Fourier menunjukkan bahwa solusi sederhana juga dapat dijumlahkan untuk memberikan solusi untuk masalah yang lebih kompleks. Dalam bahasa matematika, deret Fourier adalah teknik untuk merepresentasikan ekspresi sebagai jumlah harmonik - kosinus dan sinusoida. Oleh karena itu, analisis ini juga dikenal sebagai "analisis harmonik".
Seri Fourier - teknik ideal sebelum "zaman komputer"
Sebelum penciptaan teknologi komputer, teknik Fourier adalah senjata terbaik di gudang para ilmuwan ketika bekerja dengan sifat gelombang dunia kita. Deret Fourier dalam bentuk kompleks memungkinkan penyelesaian tidak hanya masalah sederhana yang dapat langsung diterapkan pada hukum mekanika Newton, tetapi juga persamaan fundamental. Sebagian besar penemuan ilmu pengetahuan Newton pada abad kesembilan belas hanya dimungkinkan oleh teknik Fourier.
seri Fourier hari ini
Dengan perkembangan komputer transformasi Fourierdiangkat ke tingkat yang sama sekali baru. Teknik ini mengakar kuat di hampir semua bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Contohnya adalah sinyal audio dan video digital. Realisasinya menjadi mungkin hanya berkat teori yang dikembangkan oleh seorang ahli matematika Prancis pada awal abad kesembilan belas. Dengan demikian, deret Fourier dalam bentuk yang kompleks memungkinkan untuk membuat terobosan dalam studi luar angkasa. Selain itu, mempengaruhi kajian fisika bahan semikonduktor dan plasma, akustik gelombang mikro, oseanografi, radar, seismologi.
Deret Fourier Trigonometri
Dalam matematika, deret Fourier adalah cara untuk merepresentasikan fungsi kompleks arbitrer sebagai jumlah dari fungsi yang lebih sederhana. Dalam kasus umum, jumlah ekspresi seperti itu bisa tak terbatas. Selain itu, semakin banyak jumlah mereka diperhitungkan dalam perhitungan, semakin akurat hasil akhirnya. Paling sering, fungsi trigonometri kosinus atau sinus digunakan sebagai yang paling sederhana. Dalam hal ini, deret Fourier disebut trigonometri, dan solusi dari ekspresi semacam itu disebut ekspansi harmonik. Metode ini memegang peranan penting dalam matematika. Pertama-tama, deret trigonometri menyediakan sarana untuk gambar, serta studi fungsi, itu adalah perangkat utama teori. Selain itu, memungkinkan pemecahan sejumlah masalah fisika matematika. Akhirnya, teori ini berkontribusi pada pengembangan analisis matematis, memunculkan sejumlah bagian yang sangat penting dari ilmu matematika (teori integral, teori fungsi periodik). Selain itu, ini berfungsi sebagai titik awal untuk pengembangan teori berikut: himpunan, fungsivariabel nyata, analisis fungsional, dan juga meletakkan dasar untuk analisis harmonik.
