Transformasi Fourier adalah transformasi yang membandingkan fungsi dari beberapa variabel nyata. Operasi ini dilakukan setiap kali kita merasakan suara yang berbeda. Telinga melakukan "perhitungan" otomatis, yang hanya mampu dilakukan oleh kesadaran kita setelah mempelajari bagian matematika yang lebih tinggi yang sesuai. Organ pendengaran manusia membangun transformasi, sebagai akibatnya suara (gerakan osilasi partikel bersyarat dalam media elastis yang merambat dalam bentuk gelombang dalam media padat, cair atau gas) disediakan dalam bentuk spektrum nilai yang berurutan. dari tingkat volume nada dengan ketinggian yang berbeda. Setelah itu, otak mengubah informasi ini menjadi suara yang familiar bagi semua orang.
Transformasi Fourier Matematika
Transformasi gelombang suara atau proses osilasi lainnya (dari radiasi cahaya dan gelombang laut ke siklus aktivitas bintang atau matahari) juga dapat dilakukan dengan menggunakan metode matematika. Jadi, dengan menggunakan teknik ini, dimungkinkan untuk menguraikan fungsi dengan mewakili proses osilasi sebagai satu set komponen sinusoidal, yaitu kurva bergelombang yangpergi dari rendah ke tinggi, lalu kembali ke rendah, seperti gelombang laut. Transformasi Fourier - transformasi yang fungsinya menggambarkan fase atau amplitudo setiap sinusoidal yang sesuai dengan frekuensi tertentu. Fase adalah titik awal kurva, dan amplitudo adalah tingginya.
Transformasi Fourier (contoh ditunjukkan di foto) adalah alat yang sangat kuat yang digunakan di berbagai bidang ilmu pengetahuan. Dalam beberapa kasus, ini digunakan sebagai sarana untuk memecahkan persamaan yang agak rumit yang menggambarkan proses dinamis yang terjadi di bawah pengaruh cahaya, energi panas atau listrik. Dalam kasus lain, ini memungkinkan Anda untuk menentukan komponen reguler dalam sinyal osilasi kompleks, berkat itu Anda dapat dengan benar menafsirkan berbagai pengamatan eksperimental dalam kimia, kedokteran, dan astronomi.
Latar belakang sejarah
Orang pertama yang menerapkan metode ini adalah matematikawan Prancis Jean Baptiste Fourier. Transformasi, yang kemudian dinamai menurut namanya, pada awalnya digunakan untuk menggambarkan mekanisme konduksi panas. Fourier menghabiskan seluruh masa dewasanya mempelajari sifat-sifat panas. Dia membuat kontribusi besar untuk teori matematika menentukan akar persamaan aljabar. Fourier adalah seorang profesor analisis di Sekolah Politeknik, sekretaris Institut Egyptology, berada di dinas kekaisaran, di mana ia membedakan dirinya selama pembangunan jalan ke Turin (di bawah kepemimpinannya, lebih dari 80 ribu kilometer persegi penyakit malariarawa-rawa). Namun, semua aktivitas yang gencar ini tidak menghalangi ilmuwan untuk melakukan analisis matematis. Pada tahun 1802, ia menurunkan persamaan yang menggambarkan perambatan panas dalam padatan. Pada tahun 1807, ilmuwan menemukan metode untuk memecahkan persamaan ini, yang disebut "Transformasi Fourier".
Analisis Konduktivitas Termal
Ilmuwan menerapkan metode matematika untuk menjelaskan mekanisme konduksi panas. Contoh yang mudah, di mana tidak ada kesulitan dalam perhitungan, adalah perambatan energi panas melalui cincin besi yang direndam dalam satu bagian dalam api. Untuk melakukan eksperimen, Fourier memanaskan bagian dari cincin ini hingga merah membara dan menguburnya di pasir halus. Setelah itu, dia melakukan pengukuran suhu di sisi yang berlawanan. Awalnya, distribusi panas tidak teratur: bagian dari cincin itu dingin dan yang lainnya panas; gradien suhu yang tajam dapat diamati di antara zona-zona ini. Namun, dalam proses perambatan panas di seluruh permukaan logam, itu menjadi lebih seragam. Jadi, segera proses ini mengambil bentuk sinusoidal. Mula-mula grafik bertambah mulus dan juga berkurang mulus, persis sesuai dengan hukum perubahan fungsi kosinus atau sinus. Gelombang berangsur-angsur surut dan akibatnya suhu di seluruh permukaan cincin menjadi sama.
Penulis metode ini menyarankan agar distribusi tak beraturan awal dapat didekomposisi menjadi sejumlah sinusoida elementer. Masing-masing akan memiliki fase (posisi awal) dan suhunya sendirimaksimum. Selain itu, setiap komponen tersebut berubah dari minimum ke maksimum dan kembali pada putaran penuh di sekitar ring beberapa kali bilangan bulat. Komponen dengan satu periode disebut harmonik dasar, dan nilai dengan dua atau lebih periode disebut kedua, dan seterusnya. Jadi, fungsi matematika yang menggambarkan suhu maksimum, fase atau posisi disebut transformasi Fourier dari fungsi distribusi. Ilmuwan mereduksi satu komponen, yang sulit dijelaskan secara matematis, menjadi alat yang mudah digunakan - deret kosinus dan sinus, yang dijumlahkan untuk memberikan distribusi aslinya.
Inti dari analisis
Dengan menerapkan analisis ini pada transformasi perambatan panas melalui benda padat yang berbentuk lingkaran, ahli matematika tersebut beralasan bahwa peningkatan periode komponen sinusoidal akan menyebabkan peluruhannya cepat. Hal ini terlihat jelas pada harmonik fundamental dan harmonik kedua. Di yang terakhir, suhu mencapai nilai maksimum dan minimum dua kali dalam satu lintasan, dan yang pertama, hanya sekali. Ternyata jarak yang ditempuh oleh kalor pada harmonik kedua akan menjadi setengah dari jarak dasar. Selain itu, gradien di yang kedua juga akan dua kali lebih curam dari yang pertama. Oleh karena itu, karena aliran panas yang lebih intens menempuh jarak dua kali lebih pendek, harmonik ini akan meluruh empat kali lebih cepat daripada fundamental sebagai fungsi waktu. Ke depan, proses ini akan lebih cepat lagi. Ahli matematika percaya bahwa metode ini memungkinkan Anda untuk menghitung proses distribusi suhu awal dari waktu ke waktu.
Tantangan untuk orang-orang sezaman
Algoritme transformasi Fourier menantang landasan teoritis matematika pada saat itu. Pada awal abad kesembilan belas, sebagian besar ilmuwan terkemuka, termasuk Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre dan Biot, tidak menerima pernyataannya bahwa distribusi suhu awal diuraikan menjadi komponen-komponen dalam bentuk harmonik fundamental dan frekuensi yang lebih tinggi. Namun, Akademi Ilmu Pengetahuan tidak dapat mengabaikan hasil yang diperoleh oleh ahli matematika, dan memberinya hadiah untuk teori hukum konduksi panas, serta membandingkannya dengan eksperimen fisik. Dalam pendekatan Fourier, keberatan utama adalah fakta bahwa fungsi diskontinu diwakili oleh jumlah dari beberapa fungsi sinusoidal yang kontinu. Bagaimanapun, mereka menggambarkan garis lurus dan melengkung yang robek. Sezaman ilmuwan tidak pernah mengalami situasi yang sama, ketika fungsi diskontinu dijelaskan oleh kombinasi yang kontinu, seperti kuadrat, linier, sinusoidal atau eksponensial. Jika ahli matematika itu benar dalam pernyataannya, maka jumlah deret tak hingga dari fungsi trigonometri harus dikurangi menjadi satu langkah tepat. Pada saat itu, pernyataan seperti itu tampak tidak masuk akal. Namun, terlepas dari keraguan, beberapa peneliti (misalnya Claude Navier, Sophie Germain) telah memperluas cakupan penelitian dan membawanya melampaui analisis distribusi energi panas. Sementara itu, matematikawan terus bergumul dengan pertanyaan apakah jumlah beberapa fungsi sinusoidal dapat direduksi menjadi representasi eksak dari fungsi diskontinu.
200 tahunsejarah
Teori ini telah berkembang selama dua abad, hari ini akhirnya terbentuk. Dengan bantuannya, fungsi spasial atau temporal dibagi menjadi komponen sinusoidal, yang memiliki frekuensi, fase, dan amplitudonya sendiri. Transformasi ini diperoleh dengan dua metode matematika yang berbeda. Yang pertama digunakan ketika fungsi aslinya kontinu, dan yang kedua - ketika diwakili oleh serangkaian perubahan individu yang diskrit. Jika ekspresi diperoleh dari nilai yang ditentukan oleh interval diskrit, maka ekspresi tersebut dapat dibagi menjadi beberapa ekspresi sinusoidal dengan frekuensi diskrit - dari yang terendah dan kemudian dua kali, tiga kali dan seterusnya lebih tinggi dari yang utama. Jumlah seperti itu disebut deret Fourier. Jika ekspresi awal diberi nilai untuk setiap bilangan real, maka itu dapat didekomposisi menjadi beberapa sinusoidal dari semua frekuensi yang mungkin. Ini biasanya disebut integral Fourier, dan solusinya menyiratkan transformasi integral dari fungsi tersebut. Terlepas dari bagaimana konversi diperoleh, dua angka harus ditentukan untuk setiap frekuensi: amplitudo dan frekuensi. Nilai-nilai ini dinyatakan sebagai bilangan kompleks tunggal. Teori ekspresi variabel kompleks, bersama dengan transformasi Fourier, memungkinkan untuk melakukan perhitungan dalam desain berbagai rangkaian listrik, analisis getaran mekanis, studi tentang mekanisme perambatan gelombang, dan banyak lagi.
Fourier Transform Hari Ini
Saat ini, studi tentang proses ini terutama direduksi menjadi menemukan yang efektifmetode transisi dari suatu fungsi ke bentuk transformasinya dan sebaliknya. Solusi ini disebut transformasi Fourier langsung dan terbalik. Apa artinya? Untuk menentukan integral dan menghasilkan transformasi Fourier langsung, seseorang dapat menggunakan metode matematika, atau metode analitik. Terlepas dari kenyataan bahwa kesulitan tertentu muncul ketika menggunakannya dalam praktik, sebagian besar integral telah ditemukan dan dimasukkan dalam buku referensi matematika. Metode numerik dapat digunakan untuk menghitung ekspresi yang bentuknya berdasarkan data eksperimen, atau fungsi yang integralnya tidak tersedia dalam tabel dan sulit untuk disajikan dalam bentuk analitik.
Sebelum munculnya komputer, perhitungan transformasi semacam itu sangat membosankan, mereka membutuhkan eksekusi manual dari sejumlah besar operasi aritmatika, yang bergantung pada jumlah titik yang menggambarkan fungsi gelombang. Untuk memudahkan perhitungan, hari ini ada program khusus yang memungkinkan penerapan metode analisis baru. Jadi, pada tahun 1965, James Cooley dan John Tukey menciptakan perangkat lunak yang kemudian dikenal sebagai "Fast Fourier Transform". Ini memungkinkan Anda menghemat waktu untuk perhitungan dengan mengurangi jumlah perkalian dalam analisis kurva. Metode transformasi Fourier cepat didasarkan pada pembagian kurva menjadi sejumlah besar nilai sampel yang seragam. Dengan demikian, jumlah perkalian dibagi dua dengan pengurangan jumlah poin yang sama.
Menerapkan Transformasi Fourier
Iniproses digunakan dalam berbagai bidang ilmu: dalam teori bilangan, fisika, pemrosesan sinyal, kombinatorik, teori probabilitas, kriptografi, statistik, oseanologi, optik, akustik, geometri dan lain-lain. Kemungkinan yang kaya dari penerapannya didasarkan pada sejumlah fitur yang berguna, yang disebut "Properti transformasi Fourier". Pertimbangkan mereka.
1. Transformasi fungsi adalah operator linier dan, dengan normalisasi yang sesuai, adalah kesatuan. Sifat ini dikenal sebagai teorema Parseval, atau secara umum teorema Plancherel, atau dualisme Pontryagin.
2. Transformasi bersifat reversibel. Selain itu, hasil sebaliknya memiliki bentuk yang hampir sama dengan solusi langsung.
3. Ekspresi dasar sinusoidal adalah fungsi yang dibedakan sendiri. Artinya, representasi tersebut mengubah persamaan linier dengan koefisien konstan menjadi persamaan aljabar biasa.
4. Menurut teorema "konvolusi", proses ini mengubah operasi kompleks menjadi perkalian elementer.
5. Transformasi Fourier diskrit dapat dihitung dengan cepat di komputer menggunakan metode "cepat".
Varietas Transformasi Fourier
1. Paling sering, istilah ini digunakan untuk menunjukkan transformasi berkelanjutan yang memberikan ekspresi integral kuadrat sebagai jumlah ekspresi eksponensial kompleks dengan frekuensi dan amplitudo sudut tertentu. Spesies ini memiliki beberapa bentuk yang berbeda, yang dapatberbeda dengan koefisien konstan. Metode kontinu mencakup tabel konversi, yang dapat ditemukan di buku referensi matematika. Kasus umum adalah transformasi fraksional, yang dengannya proses yang diberikan dapat dinaikkan ke kekuatan nyata yang diperlukan.
2. Modus kontinu adalah generalisasi dari teknik awal deret Fourier yang didefinisikan untuk berbagai fungsi atau ekspresi periodik yang ada di area terbatas dan merepresentasikannya sebagai deret sinusoidal.
3. Transformasi Fourier Diskrit. Metode ini digunakan dalam teknologi komputer untuk perhitungan ilmiah dan untuk pemrosesan sinyal digital. Untuk melakukan perhitungan jenis ini, diperlukan fungsi yang mendefinisikan titik individu, daerah periodik atau daerah terbatas pada himpunan diskrit, bukan integral Fourier kontinu. Transformasi sinyal dalam hal ini direpresentasikan sebagai jumlah sinusoida. Pada saat yang sama, penggunaan metode "cepat" memungkinkan untuk menerapkan solusi diskrit untuk setiap masalah praktis.
4. Transformasi Fourier berjendela adalah bentuk umum dari metode klasik. Berbeda dengan solusi standar, ketika spektrum sinyal digunakan, yang diambil dalam kisaran penuh keberadaan variabel yang diberikan, di sini hanya distribusi frekuensi lokal yang menarik, asalkan variabel asli (waktu) dipertahankan..
5. Transformasi Fourier dua dimensi. Metode ini digunakan untuk bekerja dengan array data dua dimensi. Dalam hal ini, pertama transformasi dilakukan dalam satu arah, dan kemudian dalamlainnya.
Kesimpulan
Saat ini, metode Fourier mengakar kuat di berbagai bidang ilmu pengetahuan. Misalnya, pada tahun 1962 bentuk heliks ganda DNA ditemukan menggunakan analisis Fourier yang dikombinasikan dengan difraksi sinar-X. Yang terakhir difokuskan pada kristal serat DNA, sebagai hasilnya, gambar yang diperoleh dengan difraksi radiasi direkam pada film. Gambar ini memberikan informasi tentang nilai amplitudo saat menggunakan transformasi Fourier pada struktur kristal tertentu. Data fasa diperoleh dengan membandingkan peta difraksi DNA dengan peta yang diperoleh dari analisis struktur kimia sejenis. Hasilnya, para ahli biologi telah memulihkan struktur kristal - fungsi aslinya.
Transformasi Fourier memainkan peran besar dalam studi ruang angkasa, semikonduktor dan fisika plasma, akustik gelombang mikro, oseanografi, radar, seismologi, dan survei medis.
