Leonhard Euler (1707-1783) - matematikawan Swiss dan Rusia yang terkenal, anggota Akademi Ilmu Pengetahuan St. Petersburg, menghabiskan sebagian besar hidupnya di Rusia. Yang paling terkenal dalam analisis matematika, statistik, ilmu komputer dan logika adalah lingkaran Euler (diagram Euler-Venn), digunakan untuk menunjukkan ruang lingkup konsep dan himpunan elemen.
John Venn (1834-1923) - filsuf dan ahli logika Inggris, rekan penulis diagram Euler-Venn.
Konsep yang kompatibel dan tidak kompatibel
Di bawah konsep dalam logika berarti suatu bentuk pemikiran yang mencerminkan fitur-fitur penting dari kelas objek homogen. Mereka dilambangkan dengan satu atau sekelompok kata: "peta dunia", "akord kelima-ketujuh yang dominan", "Senin", dll.
Dalam kasus ketika elemen ruang lingkup satu konsep sepenuhnya atau sebagian termasuk dalam ruang lingkup yang lain, orang berbicara tentang konsep yang kompatibel. Namun, jika tidak ada elemen ruang lingkup konsep tertentu yang termasuk dalam ruang lingkup yang lain, kami memiliki konsep yang tidak kompatibel.
Pada gilirannya, setiap jenis konsep memiliki rangkaian kemungkinan hubungan sendiri. Untuk konsep yang kompatibel, ini adalah:
- identitas (kesetaraan) volume;
- crossing (pertandingan sebagian)volume;
- subordinasi (subordinasi).
Untuk tidak kompatibel:
- subordinasi (koordinasi);
- berlawanan (kontraralitas);
- kontradiksi (kontradiksi).
Secara skema, hubungan antarkonsep dalam logika biasanya dilambangkan dengan lingkaran Euler-Venn.
Hubungan Setara
Dalam hal ini, konsep berarti subjek yang sama. Dengan demikian, volume konsep-konsep ini sepenuhnya sama. Misalnya:
A - Sigmund Freud;
B adalah pendiri psikoanalisis.
Atau:
A adalah persegi;
B adalah persegi panjang sama sisi;
C adalah belah ketupat sama sisi.
Lingkaran Euler yang benar-benar bertepatan digunakan untuk penunjukan.
Persimpangan (pertandingan sebagian)
Kategori ini mencakup konsep-konsep yang memiliki elemen-elemen umum yang berkaitan dengan persilangan. Artinya, volume salah satu konsep sebagian termasuk dalam volume yang lain:
A - guru;
B adalah pecinta musik.
Seperti dapat dilihat dari contoh ini, volume konsep sebagian bertepatan: sekelompok guru tertentu mungkin menjadi pecinta musik, dan sebaliknya - mungkin ada perwakilan profesi guru di antara pecinta musik. Sikap serupa akan terjadi ketika konsep A, misalnya, "warga negara", dan B adalah "pengemudi".
Subordinasi (subordinasi)
Secara skema dilambangkan sebagai lingkaran Euler dengan skala yang berbeda. Hubunganantar konsep dalam hal ini dicirikan oleh fakta bahwa konsep bawahan (volume lebih kecil) sepenuhnya termasuk dalam bawahan (volume lebih besar). Pada saat yang sama, konsep bawahan tidak sepenuhnya menguras konsep bawahan.
Misalnya:
A - pohon;
B - pinus.
Konsep B akan tunduk pada konsep A. Karena pinus termasuk pohon, konsep A dalam contoh ini menjadi bawahan, "menyerap" ruang lingkup konsep B.
Koordinasi (koordinasi)
Relasi mencirikan dua atau lebih konsep yang saling mengecualikan, tetapi termasuk dalam lingkaran umum umum tertentu. Misalnya:
A – klarinet;
B - gitar;
C - biola;
D adalah alat musik.
Konsep A, B, C tidak saling bersilangan, namun semuanya termasuk dalam kategori alat musik (konsep D).
Berlawanan (bertentangan)
Hubungan yang berlawanan antara konsep menyiratkan bahwa konsep-konsep ini termasuk dalam genus yang sama. Pada saat yang sama, salah satu konsep memiliki sifat (fitur) tertentu, sementara yang lain menyangkalnya, menggantikannya dengan yang berlawanan di alam. Jadi, kita berurusan dengan antonim. Misalnya:
A adalah kurcaci;
B adalah raksasa.
Lingkaran Euler dengan hubungan yang berlawanan antar konsepdibagi menjadi tiga segmen, yang pertama sesuai dengan konsep A, yang kedua untuk konsep B, dan yang ketiga untuk semua kemungkinan konsep lainnya.
Kontradiksi (kontradiksi)
Dalam hal ini, kedua konsep tersebut adalah spesies dari genus yang sama. Seperti pada contoh sebelumnya, salah satu konsep menunjukkan kualitas (fitur) tertentu, sementara yang lain menyangkalnya. Namun, berbeda dengan relasi yang berlawanan, konsep kedua, kebalikan tidak menggantikan sifat-sifat yang disangkal dengan sifat-sifat alternatif lainnya. Misalnya:
A adalah tugas yang sulit;
B adalah tugas yang mudah (bukan-A).
Mengekspresikan volume konsep semacam ini, lingkaran Euler dibagi menjadi dua bagian - yang ketiga, tautan perantara dalam hal ini tidak ada. Dengan demikian, konsep juga antonim. Pada saat yang sama, salah satunya (A) menjadi positif (menegaskan beberapa fitur), dan yang kedua (B atau non-A) menjadi negatif (meniadakan fitur yang sesuai): "kertas putih" - "bukan kertas putih", " sejarah nasional” – “sejarah luar negeri”, dll.
Jadi, rasio volume konsep dalam hubungannya satu sama lain adalah karakteristik utama yang mendefinisikan lingkaran Euler.
Hubungan antarset
Hal ini juga perlu untuk membedakan antara konsep elemen dan set, yang volumenya ditampilkan oleh lingkaran Euler. Konsep himpunan dipinjam dari ilmu matematika dan memiliki arti yang cukup luas. Contoh dalam logika dan matematika menampilkannya sebagai kumpulan objek tertentu. Objek itu sendiri adalahelemen himpunan ini. "Banyak adalah banyak pemikiran sebagai satu" (Georg Kantor, pendiri teori himpunan).
Himpunan ditulis dengan huruf kapital: A, B, C, D… dst., elemen himpunan ditulis dengan huruf kecil: a, b, c, d… dst. Contoh himpunan dapat berupa siswa yang berada di satu ruang kelas, buku di rak tertentu (atau, misalnya, semua buku di perpustakaan tertentu), halaman dalam buku harian, buah beri di pembukaan hutan, dll.
Sebaliknya, jika himpunan tertentu tidak mengandung satu elemen pun, maka himpunan tersebut disebut kosong dan dilambangkan dengan tanda. Misalnya himpunan titik potong garis sejajar, himpunan penyelesaian persamaan x2=-5.
Pemecahan masalah
Lingkaran Euler secara aktif digunakan untuk memecahkan sejumlah besar masalah. Contoh dalam logika dengan jelas menunjukkan hubungan antara operasi logis dan teori himpunan. Dalam hal ini, tabel kebenaran konsep digunakan. Misalnya, lingkaran berlabel A mewakili daerah kebenaran. Jadi daerah di luar lingkaran akan mewakili salah. Untuk menentukan luas diagram untuk operasi logika, Anda harus menaungi area yang mendefinisikan lingkaran Euler, di mana nilainya untuk elemen A dan B adalah benar.
Penggunaan lingkaran Euler telah menemukan aplikasi praktis yang luas di berbagai industri. Misalnya, dalam situasi dengan pilihan profesional. Jika subjek khawatir tentang pilihan profesi masa depan, ia dapat dipandu oleh kriteria berikut:
W – apa yang ingin saya lakukan?
D – apa yang saya lakukan?
P– bagaimana saya bisa menghasilkan banyak uang?
Mari kita menggambar ini sebagai diagram: Lingkaran Euler (contoh dalam logika - hubungan persimpangan):
Hasilnya adalah profesi yang akan berada di persimpangan ketiga lingkaran.
Lingkaran Euler-Venn menempati tempat terpisah dalam matematika (teori himpunan) saat menghitung kombinasi dan sifat. Lingkaran Euler dari himpunan elemen terlampir pada gambar persegi panjang yang menunjukkan himpunan universal (U). Alih-alih lingkaran, figur tertutup lainnya juga bisa digunakan, tetapi esensinya tidak berubah. Angka-angka berpotongan satu sama lain, sesuai dengan kondisi masalah (dalam kasus paling umum). Juga, angka-angka ini harus diberi label yang sesuai. Elemen-elemen dari himpunan yang dipertimbangkan dapat berupa titik-titik yang terletak di dalam segmen yang berbeda dari diagram. Berdasarkan itu, Anda dapat menaungi area tertentu, dengan demikian menunjuk set yang baru terbentuk.
Dengan himpunan ini dimungkinkan untuk melakukan operasi matematika dasar: penjumlahan (jumlah himpunan elemen), pengurangan (selisih), perkalian (perkalian). Selain itu, berkat diagram Euler-Venn, dimungkinkan untuk membandingkan himpunan dengan jumlah elemen yang termasuk di dalamnya, tidak menghitungnya.
